Faça o gráfico da seguinte função e encontre sua transformada de Laplace:
(t-pi) u(t-pi)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa fazer o gráfico da função (t - pi) u(t - pi) e encontrar a sua transformada de Laplace. Isso envolve entender um pouco de funções por partes e a transformada de Laplace, que é uma ferramenta essencial para resolver equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função (t - pi) u(t - pi). Aqui, u(t - pi) é a função degrau de Heaviside, que é zero quando t < pi e igual a 1 quando t >= pi. Então, basicamente, a função (t - pi) u(t - pi) fica zero até t = pi e depois começa a crescer linearmente a partir desse ponto.

Passo 3

Vamos fazer o gráfico dessa função. Para t < pi, u(t - pi) = 0, então (t - pi) times 0 = 0. A partir de t = pi, u(t - pi) = 1, então a função vira (t - pi). Isso significa que no ponto t = pi, a função começa em zero e sobe com inclinação 1.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a transformada de Laplace dessa função. A transformada de Laplace de uma função f(t) é dada por:
Lf(t) = integral0^infty e^-st f(t) dt
Mas no nosso caso, a função começa em t = pi, então usamos a propriedade da função degenerada.

Passo 5

Usamos a propriedade da transformada de Laplace para funções deslocadas no tempo:
Lf(t - a) u(t - a) = e^-as F(s)
onde F(s) é a transformada de Laplace de f(t). No nosso caso, f(t) = t, e a = pi.

Passo 6

Primeiro, encontramos a transformada de Laplace de f(t) = t. Sabemos que:
Lt = 1s^2

Passo 7

Aplicando a propriedade do deslocamento no tempo, temos:
L(t - pi) u(t - pi) = e^-pi s times 1s^2

Resposta

A transformada de Laplace de (t - pi) u(t - pi) é:
L(t - pi) u(t - pi) = e^-pi ss^2

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