Faça o gráfico da seguinte função e encontre sua transformada de Laplace:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa fazer o gráfico da função
e encontrar a sua transformada de Laplace. Isso envolve entender um pouco de funções por partes e a transformada de Laplace, que é uma ferramenta essencial para resolver equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Aqui,
é a função degrau de Heaviside, que é zero quando
e igual a 1 quando
. Então, basicamente, a função
fica zero até
e depois começa a crescer linearmente a partir desse ponto.
Passo 3
Vamos fazer o gráfico dessa função. Para
,
, então
. A partir de
,
, então a função vira
. Isso significa que no ponto
, a função começa em zero e sobe com inclinação 1.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a transformada de Laplace dessa função. A transformada de Laplace de uma função
é dada por:
Mas no nosso caso, a função começa em
, então usamos a propriedade da função degenerada.
Passo 5
Usamos a propriedade da transformada de Laplace para funções deslocadas no tempo:
onde
é a transformada de Laplace de
. No nosso caso,
, e
.
Passo 6
Primeiro, encontramos a transformada de Laplace de
. Sabemos que:
Passo 7
Aplicando a propriedade do deslocamento no tempo, temos:
Resposta
A transformada de Laplace de
é: