Calcule o comprimento exato da curva polar.
Passo 1
Então, a gente tem que calcular o comprimento da curva polar definida por
quando o ângulo
varia de 0 até
. Isso envolve usar conceitos de cálculo, especialmente para encontrar o comprimento de uma curva em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva polar. A fórmula é:
Aqui,
é o comprimento da curva,
é a função que descreve a curva, e
é a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Vamos identificar os valores para nossa função específica. Temos
e os limites de integração vão de
até
.
Passo 4
Agora, precisamos calcular a derivada de
em relação a
:
Passo 5
Substituindo
e
na fórmula do comprimento, temos:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Sabemos que
, então:
Portanto, a raiz fica:
Passo 7
Agora, o comprimento da curva fica bem mais simples:
Resposta
O comprimento exato da curva é
unidades.