Calcule o comprimento exato da curva polar.
r=2 cdot cos (theta), 0 <= theta <= pi

Passo 1

Então, a gente tem que calcular o comprimento da curva polar definida por quando o ângulo varia de 0 até . Isso envolve usar conceitos de cálculo, especialmente para encontrar o comprimento de uma curva em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva polar. A fórmula é:
L = integrala^b raiz ( r(theta) )^2 + ( drdtheta )^2 , dtheta
Aqui, é o comprimento da curva, é a função que descreve a curva, e é a derivada de em relação a .

Passo 3

Vamos identificar os valores para nossa função específica. Temos e os limites de integração vão de até .

Passo 4

Agora, precisamos calcular a derivada de drdtheta = ddtheta ( 2 cdot cos(theta) ) = -2 cdot sin(theta) em relação a :

Passo 5

Substituindo L = integral0^pi raiz ( 2 cdot cos(theta) )^2 + ( -2 cdot sin(theta) )^2 , dtheta e na fórmula do comprimento, temos:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
( 2 cdot cos(theta) )^2 + ( -2 cdot sin(theta) )^2 = 4 cdot cos^2(theta) + 4 cdot sin^2(theta) = 4 cdot ( cos^2(theta) + sin^2(theta) )
Sabemos que 4 cdot ( cos^2(theta) + sin^2(theta) ) = 4 cdot 1 = 4 , então:
raiz4 = 2
Portanto, a raiz fica:

Passo 7

Agora, o comprimento da curva fica bem mais simples:
L = integral0^pi 2 , dtheta = 2 cdot [ theta ]0^pi = 2 cdot (pi - 0) = 2pi

Resposta

O comprimento exato da curva é unidades.

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