Use o método da transformada de Laplace para resolver o seguinte problema de valor inicial:
ly^prime prime+7 y^prime+12 y=21 e^3 t, y(0)=3,5 e y^prime(0)=-10

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace! O enunciado nos dá uma equação do tipo com condições iniciais e . Para resolver, precisamos aplicar a Transformada de Laplace nas duas partes da equação e usar as condições iniciais para encontrar a solução para .

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em cada termo da equação. Lembre-se que a Transformada de Laplace de s^2 Y(s) - s cdot 3,5 - (-10) + 7(s Y(s) - 3,5) + 12 Y(s) = 21s - 3 é , de é , e de é simplesmente . A transformada de é .
Então, aplicando a transformada:

Passo 3

Vamos simplificar essa expressão:
s^2 Y(s) - 3,5s + 10 + 7s Y(s) - 24,5 + 12 Y(s) = 21s - 3
Agrupando os termos com Y(s)(s^2 + 7s + 12) = 21s - 3 + 3,5s - 10 + 24,5 :
Y(s)(s^2 + 7s + 12) = 21s - 3 + 3,5s + 14,5
Simplificando os números do lado direito:

Passo 4

Agora, isolamos Y(s) = 21(s - 3)(s^2 + 7s + 12) + 3,5s + 14,5s^2 + 7s + 12 :
Y(s) = 21(s - 3)(s + 3)(s + 4) + 3,5s + 14,5(s + 3)(s + 4)
Fatorando o denominador Y(s) = As - 3 + Bs + 3 + Cs + 4 , temos:
Para facilitar, fazemos a decomposição em frações parciais:
Resolvendo para A, B e C, encontramos os valores e então aplicamos a Transformada Inversa de Laplace para obter .

Resposta

Após realizar os cálculos, a solução da equação diferencial é:
y(t) = e^-3t + 2e^-4t + 3e^3t

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