Use o método da transformada de Laplace para resolver o seguinte problema de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace! O enunciado nos dá uma equação do tipo
com condições iniciais
e
. Para resolver, precisamos aplicar a Transformada de Laplace nas duas partes da equação e usar as condições iniciais para encontrar a solução para
.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em cada termo da equação. Lembre-se que a Transformada de Laplace de
é
, de
é
, e de
é simplesmente
. A transformada de
é
.
Então, aplicando a transformada:
Passo 3
Vamos simplificar essa expressão:
Agrupando os termos com
:
Simplificando os números do lado direito:
Passo 4
Agora, isolamos
:
Fatorando o denominador
, temos:
Para facilitar, fazemos a decomposição em frações parciais:
Resolvendo para A, B e C, encontramos os valores e então aplicamos a Transformada Inversa de Laplace para obter
.
Resposta
Após realizar os cálculos, a solução da equação diferencial é: