Seja C a interseção do paraboloide z=x^2+y^2 com o plano z=2 y, percorrida no sentido anti-horário quando projetada no plano x y. O valor da integral de linha integralC z d x+(z-y) d y+y(x^2+y^2) d z é:
Escolha uma opção:
○ 0
  • -2 pi
    pi
  • -pi
    2 pi

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de linha da função vetorial $ \int_{C} z, dx + (z - y), dy + y(x^{2} + y^{2}), dz $ ao longo da curva $ C $. A curva $ C $ é a interseção do paraboloide $ z = x^{2} + y^{2} $ com o plano $ z = 2y $. Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e o teorema de Stokes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a curva $ C $ que é a interseção entre o paraboloide $ z = x^{2} + y^{2} $ e o plano $ z = 2y $. Para isso, igualamos as duas equações:
C

Passo 3

Vamos rearranjar a equação para facilitar a identificação da curva:
x^2 + y^2 - 2y = 0
Completando o quadrado para $ y $:
y
Isso representa um círculo de raio 1, centrado em $ (0, 1) $ no plano $ xy $.

Passo 4

Agora que identificamos a curva $ C $ como um círculo de raio 1 centrado em $ (0,1) $, podemos parametrizar essa curva. Uma parametrização conveniente é:
C
Com essa parametrização, $ z $ no paraboloide é:
(0,1)

Passo 5

Vamos calcular os diferenciais $ dx $, $ dy $ e $ dz $:
dx

Passo 6

Substituímos tudo na integral:
integralC z, dx + (z - y), dy + y(x^2 + y^2), dz = integral0^2pi [ (2 + 2sintheta)(- sintheta) + (2 + 2sintheta - (1 + sintheta))costheta + (1 + sintheta)(cos^2theta + (1 + sintheta)^2) cdot 2costheta ] dtheta
Vamos simplificar termo a termo.

Passo 7

Simplificando cada parte:
  1. $ (2 + 2\sin\theta)(- \sin\theta) = -2\sin\theta - 2\sin^{2}\theta $
  2. $ (2 + 2\sin\theta - 1 - \sin\theta)\cos\theta = (1 + \sin\theta)\cos\theta $
  3. $ (1 + \sin\theta)(\cos^{2}\theta + 1 + 2\sin\theta + \sin^{2}\theta) \cdot 2\cos\theta = (1 + \sin\theta)(1 - \sin^{2}\theta + 1 + 2\sin\theta + \sin^{2}\theta) \cdot 2\cos\theta = (1 + \sin\theta)(2 + 2\sin\theta) \cdot 2\cos\theta = 4(1 + \sin\theta)^{2}\cos\theta $

Passo 8

Agora, somando todos os termos:
-2sintheta - 2sin^2theta + (1 + sintheta)costheta + 4(1 + sintheta)^2costheta
Podemos agrupar os termos com $ \cos\theta $:
costheta

Passo 9

Integrando termo a termo na faixa de $ 0 $ a $ 2\pi $:
  1. $ \int_{0}^{2\pi} -2\sin\theta, d\theta = 0 $ (pois a integral de $ \sin\theta $ em um período completo é zero)
  2. $ \int_{0}^{2\pi} -2\sin^{2}\theta, d\theta = -2 \cdot \pi $ (usando a identidade $ \sin^{2}\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2} $)
  3. Os termos com $ \cos\theta $ também resultam em zero após a integração completa devido à periodicidade das funções trigonométricas.

Passo 10

Somando todos os resultados:
0 - 2pi + 0 = -2pi

Resposta

O valor da integral é $ -2\pi $.

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