Seja
a interseção do paraboloide
com o plano
, percorrida no sentido anti-horário quando projetada no plano
. O valor da integral de linha
é:
Escolha uma opção:
○ 0
-
○
-
○
Escolha uma opção:
○ 0
○
○
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de linha da função vetorial $ \int_{C} z, dx + (z - y), dy + y(x^{2} + y^{2}), dz $ ao longo da curva $ C $. A curva $ C $ é a interseção do paraboloide $ z = x^{2} + y^{2} $ com o plano $ z = 2y $. Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e o teorema de Stokes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a curva $ C $ que é a interseção entre o paraboloide $ z = x^{2} + y^{2} $ e o plano $ z = 2y $. Para isso, igualamos as duas equações:
Passo 3
Vamos rearranjar a equação para facilitar a identificação da curva:
Completando o quadrado para $ y $:
Isso representa um círculo de raio 1, centrado em $ (0, 1) $ no plano $ xy $.
Passo 4
Agora que identificamos a curva $ C $ como um círculo de raio 1 centrado em $ (0,1) $, podemos parametrizar essa curva. Uma parametrização conveniente é:
Com essa parametrização, $ z $ no paraboloide é:
Passo 5
Vamos calcular os diferenciais $ dx $, $ dy $ e $ dz $:
Passo 6
Substituímos tudo na integral:
Vamos simplificar termo a termo.
Passo 7
Simplificando cada parte:
- $ (2 + 2\sin\theta)(- \sin\theta) = -2\sin\theta - 2\sin^{2}\theta $
- $ (2 + 2\sin\theta - 1 - \sin\theta)\cos\theta = (1 + \sin\theta)\cos\theta $
- $ (1 + \sin\theta)(\cos^{2}\theta + 1 + 2\sin\theta + \sin^{2}\theta) \cdot 2\cos\theta = (1 + \sin\theta)(1 - \sin^{2}\theta + 1 + 2\sin\theta + \sin^{2}\theta) \cdot 2\cos\theta = (1 + \sin\theta)(2 + 2\sin\theta) \cdot 2\cos\theta = 4(1 + \sin\theta)^{2}\cos\theta $
Passo 8
Agora, somando todos os termos:
Podemos agrupar os termos com $ \cos\theta $:
Passo 9
Integrando termo a termo na faixa de $ 0 $ a $ 2\pi $:
- $ \int_{0}^{2\pi} -2\sin\theta, d\theta = 0 $ (pois a integral de $ \sin\theta $ em um período completo é zero)
- $ \int_{0}^{2\pi} -2\sin^{2}\theta, d\theta = -2 \cdot \pi $ (usando a identidade $ \sin^{2}\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2} $)
- Os termos com $ \cos\theta $ também resultam em zero após a integração completa devido à periodicidade das funções trigonométricas.
Passo 10
Somando todos os resultados:
Resposta
O valor da integral é $ -2\pi $.