Faça o gráfico das seguintes funções.
f(x)=\left|-\frac{x}{3}+1\right|

Passo 1

O enunciado pede: "Faça o gráfico da função f(x)=\left|-\dfrac{x}{3}+1\right|".
Informações dadas:
  • A expressão da função é \displaystyle f(x)=\left|-\frac{x}{3}+1\right|.
  • Não há restrição explícita de domínio, então o domínio é todo o conjunto dos números reais.

Passo 2

Entender o que significa o valor absoluto. Vou explicar passo a passo de um jeito tranquilo. Para qualquer número real u\) vale: \[|u| = \begin{cases} u, & \text{se } u\ge 0,\\[4pt] -\,u, & \text{se } u<0. \end{cases}
Isso quer dizer que o valor absoluto transforma números negativos em positivos (multiplicando por (-1]) e deixa números não-negativos como estão. Aplicando isso à função, temos que analisar o sinal da expressão dentro do módulo:
u(x) = -\frac{x}{3}+1.]

Passo 3

Encontrar onde a expressão dentro do módulo é zero (ponto de quebra/ vértice do “V”):
-\frac{x}{3}+1=0 \quad\Longrightarrow\quad -\frac{x}{3}=-1 \quad\Longrightarrow\quad x=3.
Então u(x)\ge0 para alguns x e u(x)<0 para outros, com troca de sinal em x=3. Vamos verificar o sinal à esquerda e à direita de x=3:
  • Para x=0: u(0)=-0+1=1>0. Logo para valores menores que 3 a expressão é positiva (pelo comportamento linear).
  • Para x=6: u(6)=-6/3+1=-2+1=-1<0. Logo para valores maiores que 3 a expressão é negativa.
Portanto a função tem duas fórmulas diferentes em dois intervalos separados por x=3.

Passo 4

Escrever a forma peça a peça (essa é a tradução direta do entendimento do módulo):
f(x)=\left|-\frac{x}{3}+1\right|= \begin{cases} -\dfrac{x}{3}+1, & \text{se } x\le 3,\\[6pt] -\bigl(-\dfrac{x}{3}+1\bigr)=\dfrac{x}{3}-1, & \text{se } x\ge 3. \end{cases}
Observação: em x=3 ambas as expressões valem zero, então a função é contínua ali.]

Passo 5

Interpretar geometricamente cada ramo (como desenhar no papel sem calculadora):
  • Ramo para x\le 3: é uma reta de equação y=-\dfrac{x}{3}+1.
    • Coeficiente angular (inclinação) é -\dfrac{1}{3} — a reta desce lentamente para a direita.
    • Intercepto em y (quando x=0) é y=1. Ponto útil: (0,1).
    • Em x=3 tem y=0. Ponto de encontro: (3,0).
  • Ramo para x\ge 3: é uma reta de equação y=\dfrac{x}{3}-1.
    • Coeficiente angular é \dfrac{1}{3} — a reta sobe lentamente para a direita.
    • Ainda que o intercepto em y dessa reta seja -1 (quando x=0 y=-1), esse ponto não pertence ao ramo porque aqui consideramos x\ge3. Ponto útil: em x=6 tem y=6/3-1=2-1=1, então (6,1).
    • Em x=3 tem y=0, mesmo ponto de encontro (3,0).

Passo 6

Fazer uma tabelinha de pontos para ajudar a desenhar (sem calculadora):
  • Para x=-3: f(-3)=\left|-(-3)/3+1\right|=\left|1+1\right|=2. Ponto (-3,2).
  • Para x=0: f(0)=1. Ponto (0,1).
  • Para x=3: f(3)=0. Ponto (3,0) — vértice do “V”.
  • Para x=6: f(6)=1. Ponto (6,1).
    Esses quatro pontos dão a forma: duas retas ligadas em (3,0).

Passo 7

Características finais para desenhar/interpretar:
  • Formato: um “V” com vértice em (3,0).
  • Eixos: domínio \mathbb{R}. Imagem (contradomínio relevante): [0,\infty) (porque valor absoluto nunca é negativo).
  • Simetria: os ramos têm inclinações opostas ( -1/3 e +1/3), então o gráfico é simétrico em relação à reta vertical x=3.
  • Para desenhar no papel: marque (3,0), trace a reta com inclinação -1/3 indo para a esquerda passando por (0,1) e (-3,2); trace a reta com inclinação +1/3 indo para a direita passando por (6,1). Não há quebras ou buracos.

Resposta

f(x)=\left|-\frac{x}{3}+1\right|= \begin{cases} -\dfrac{x}{3}+1, & x\le 3,\\[6pt] \dfrac{x}{3}-1, & x\ge 3. \end{cases}
Gráfico: “V” com vértice em (3,0), ramo esquerdo reta de inclinação -\tfrac{1}{3} passando por (0,1), ramo direito reta de inclinação \tfrac{1}{3} passando por (6,1).]

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