Faça os gráficos de f que revelem todos os aspectos da curva. Use os gráficos de f^{\prime} e f^{\prime \prime} para estimar os intervalos de crescimento e de decrescimento, valores extremos, intervalos de concavidade e pontos de inflexão. No Exercício 35, use o cálculo para achar exatamente essas quantidades.
f(x)=\frac{x^{3}-x}{x^{2}+x+3}

Passo 1

O enunciado pede o estudo completo da curva
f(x)=\frac{x^{3}-x}{x^{2}+x+3}
usando o sinal de f' para monotonicidade e extremos, o sinal de f'' para concavidade e pontos de inflexão, além de identificar domínio e assíntotas.

Passo 2

O denominador x^{2}+x+3 tem discriminante \Delta=1-12=-11<0, logo o domínio é \mathbb{R} e não há assíntotas verticais. Para \lvert x\rvert\to\infty faz-se a divisão de polinômios:
\frac{x^{3}-x}{x^{2}+x+3} = x-1 + \frac{-3x+3}{x^{2}+x+3}\!,
logo existe assíntota oblíqua
y = x - 1.

Passo 3

Calculando
f'(x) = \frac{(3x^{2}-1)(x^{2}+x+3)-(x^{3}-x)(2x+1)}{(x^{2}+x+3)^{2}} = \frac{x^{4}+2x^{3}+10x^{2}-3}{(x^{2}+x+3)^{2}},
os zeros de f' vêm de
N(x)=x^{4}+2x^{3}+10x^{2}-3=0,
que tem duas raízes reais aproximadas
x_{1}\approx -0,569,\quad x_{2}\approx 0,517.
Como o denominador de f' é sempre positivo, podemos testar os sinais de N(x):
  • Para x<x_{1}, N(x)>0 \,\Rightarrow f'>0.
  • Para x_{1}<x<x_{2}, N(x)<0 \,\Rightarrow f'<0.
  • Para x>x_{2}, N(x)>0 \,\Rightarrow f'>0.
    Logo f cresce em (-\infty,-0,569)\cup(0,517,\infty) e decresce em (-0,569,0,517), com máximo local em x\approx -0,569 e mínimo local em x\approx0,517.

Passo 4

Calcula-se
f''(x) =\frac{-6\bigl(x^{3}-3x^{2}-12x-1\bigr)}{(x^{2}+x+3)^{3}}.
As raízes da cúbica
P(x)=x^{3}-3x^{2}-12x-1=0
são
x\approx -2,214,\quad x\approx -0,086,\quad x\approx 5,300.
Como o denominador é positivo, o sinal de f'' é o oposto do sinal de P(x). Conclui-se:
  • f''>0 (côncava para cima) em (-\infty,-2,214) e (-0,086,5,300).
  • f''<0 (côncava para baixo) em (-2,214,-0,086) e (5,300,\infty).

Passo 5

Calculam-se as coordenadas aproximadas de extremos e pontos de inflexão:
  • Máximo local em
x\approx -0,569,\quad f(-0,569)\approx 0,140.
  • Mínimo local em
x\approx 0,517,\quad f(0,517)\approx -0,100.
  • Pontos de inflexão em
x_{i1}\approx -2,214,\;f(x_{i1})\approx -1,519;\quad x_{i2}\approx -0,086,\;f(x_{i2})\approx 0,029;\quad x_{i3}\approx 5,300,\;f(x_{i3})\approx 3,945.
A assíntota oblíqua y=x-1 intercepta f quando -3x+3=0, ou seja em x=1, ponto (1,0).

Resposta

Domínio: \mathbb{R}.
Assíntota oblíqua: y=x-1.
Cresce em (-\infty,-0,569) e (0,517,\infty).
Decresce em (-0,569,0,517).
Máximo local em (-0,569,0,140).
Mínimo local em (0,517,-0,100).
Côncava para cima em (-\infty,-2,214) e (-0,086,5,300).
Côncava para baixo em (-2,214,-0,086) e (5,300,\infty).
Pontos de inflexão em (-2,214,-1,519), (-0,086,0,029) e (5,300,3,945).
Interseção com a assíntota em (1,0).

Exercícios relacionados