Faça os gráficos de
que revelem todos os aspectos da curva. Use os gráficos de
e
para estimar os intervalos de crescimento e de decrescimento, valores extremos, intervalos de concavidade e pontos de inflexão. No Exercício 35, use o cálculo para achar exatamente essas quantidades.
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico de
revelando domínio, intervalos de crescimento e decrescimento, extremos, concavidade, pontos de inflexão e assíntotas. Para isso, vamos usar cálculo de derivadas primeira e segunda.
Passo 2
Primeiro determinamos o domínio de
. Como há
no denominador,
. Logo,
Também escrevemos
Passo 3
Calculamos a derivada primeira usando regra de potência:
Passo 4
Analisamos
. Como
em todo o domínio, o sinal de
vem de
. Assim:
- se
(cresce).
- se
ou
(decresce).
Os pontos críticos são .
Em a derivada muda de negativa para positiva → mínimo local.
Em muda de positiva para negativa → máximo local.
Os valores são
-
-
Os pontos críticos são
Em
Em
Os valores são
Passo 5
Calculamos a derivada segunda:
Passo 6
Analisamos
. O numerador muda de sinal em
e o denominador em
. Nos intervalos:
- : numerador
, denom.
→
(concavidade para baixo).
- : numerador
, denom.
→
(concavidade para cima).
- : numerador
, denom.
→
(concavidade para baixo).
- : numerador
, denom.
→
(concavidade para cima).
Logo, pontos de inflexão em com
-
-
-
-
Logo, pontos de inflexão em
Passo 7
Buscamos assíntotas.
Para ,
pequeno faz
dominar, então
. Há assíntota vertical
.
Para ,
. Há assíntota horizontal
.
Para
Para
Passo 8
Com essas informações, o gráfico de
em cada ramo do domínio tem:
– decresce em , atinge mínimo em
, cresce em
;
– cresce em , atinge máximo em
, decresce em
;
– é côncavo para baixo em , côncavo para cima em
, côncavo para baixo em
, côncavo para cima em
;
– inflexão em ;
– assíntota vertical , horizontal
.
– decresce em
– cresce em
– é côncavo para baixo em
– inflexão em
– assíntota vertical
Resposta
Domínio:
.
Cresce em .
Decresce em .
Mínimo local em .
Máximo local em .
Concavidade para baixo em .
Concavidade para cima em .
Pontos de inflexão em .
Assíntotas: vertical , horizontal
.
Cresce em
Decresce em
Mínimo local em
Máximo local em
Concavidade para baixo em
Concavidade para cima em
Pontos de inflexão em
Assíntotas: vertical