Faça os gráficos de f que revelem todos os aspectos da curva. Use os gráficos de f^{\prime} e f^{\prime \prime} para estimar os intervalos de crescimento e de decrescimento, valores extremos, intervalos de concavidade e pontos de inflexão. No Exercício 35, use o cálculo para achar exatamente essas quantidades.
f(x)=\frac{x^{2}-1}{x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico de
f(x)=\frac{x^{2}-1}{x^{3}}
revelando domínio, intervalos de crescimento e decrescimento, extremos, concavidade, pontos de inflexão e assíntotas. Para isso, vamos usar cálculo de derivadas primeira e segunda.

Passo 2

Primeiro determinamos o domínio de f. Como há x^{3} no denominador, x\neq 0. Logo,
\text{domínio de }f = (-\infty,0)\cup(0,\infty).í
Também escrevemos
f(x)=\frac{x^{2}}{x^{3}}-\frac{1}{x^{3}}=x^{-1}-x^{-3}.

Passo 3

Calculamos a derivada primeira usando regra de potência:
f'(x) = -1\cdot x^{-2} -(-3)\cdot x^{-4} = -x^{-2} +3x^{-4} = \frac{3 - x^{2}}{x^{4}}.

Passo 4

Analisamos f'(x). Como x^{4}>0 em todo o domínio, o sinal de f' vem de 3 - x^{2}. Assim:
- f'(x)>0 se -\sqrt{3}<x<\sqrt{3} (cresce).
- f'(x)<0 se x<-\sqrt{3} ou x>\sqrt{3} (decresce).
Os pontos críticos são x=\pm\sqrt{3}.
Em x=-\sqrt{3} a derivada muda de negativa para positiva → mínimo local.
Em x=+\sqrt{3} muda de positiva para negativa → máximo local.
Os valores são
f(\pm\sqrt{3})=\frac{(\,3-1\,)}{(\pm\sqrt{3})^{3}} =\pm\frac{2}{3\sqrt{3}}.

Passo 5

Calculamos a derivada segunda:
f''(x) = \frac{d}{dx}\bigl(-x^{-2}+3x^{-4}\bigr) =2x^{-3}-12x^{-5} = \frac{2(x^{2}-6)}{x^{5}}.

Passo 6

Analisamos f''(x). O numerador muda de sinal em \pm\sqrt{6} e o denominador em x=0. Nos intervalos:
- x<-\sqrt{6}: numerador >0, denom. <0 f''<0 (concavidade para baixo).
- -\sqrt{6}<x<0: numerador <0, denom. <0 f''>0 (concavidade para cima).
- 0<x<\sqrt{6}: numerador <0, denom. >0 f''<0 (concavidade para baixo).
- x>\sqrt{6}: numerador >0, denom. >0 f''>0 (concavidade para cima).
Logo, pontos de inflexão em x=\pm\sqrt{6} com
f(\pm\sqrt{6})=\pm\frac{5}{6\sqrt{6}}.

Passo 7

Buscamos assíntotas.
Para x\to0^{\pm}, \lvert x\rvert pequeno faz x^{-3} dominar, então f(x)\to\mp\infty. Há assíntota vertical x=0.
Para x\to\pm\infty, f(x)\approx x^{-1}\to 0. Há assíntota horizontal y=0.

Passo 8

Com essas informações, o gráfico de f em cada ramo do domínio tem:
– decresce em (-\infty,-\sqrt{3}), atinge mínimo em \bigl(-\sqrt{3},-2/(3\sqrt{3})\bigr), cresce em (-\sqrt{3},0);
– cresce em (0,\sqrt{3}), atinge máximo em \bigl(\sqrt{3},2/(3\sqrt{3})\bigr), decresce em (\sqrt{3},\infty);
– é côncavo para baixo em (-\infty,-\sqrt{6}), côncavo para cima em (-\sqrt{6},0), côncavo para baixo em (0,\sqrt{6}), côncavo para cima em (\sqrt{6},\infty);
– inflexão em \bigl(\pm\sqrt{6},\pm5/(6\sqrt{6})\bigr);
– assíntota vertical x=0, horizontal y=0.

Resposta

Domínio: (-\infty,0)\cup(0,\infty).
Cresce em (-\sqrt{3},0)\cup(0,\sqrt{3}).
Decresce em (-\infty,-\sqrt{3})\cup(\sqrt{3},\infty).
Mínimo local em \bigl(-\sqrt{3},-2/(3\sqrt{3})\bigr).
Máximo local em \bigl(\sqrt{3},2/(3\sqrt{3})\bigr).
Concavidade para baixo em (-\infty,-\sqrt{6})\cup(0,\sqrt{6}).
Concavidade para cima em (-\sqrt{6},0)\cup(\sqrt{6},\infty).
Pontos de inflexão em \bigl(\pm\sqrt{6},\pm5/(6\sqrt{6})\bigr).
Assíntotas: vertical x=0, horizontal y=0.

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