Faça os gráficos de
que revelem todos os aspectos da curva. Use os gráficos de
e
para estimar os intervalos de crescimento e de decrescimento, valores extremos, intervalos de concavidade e pontos de inflexão. No Exercício 35, use o cálculo para achar exatamente essas quantidades.
Passo 1
O enunciado pede para estudarmos todos os aspectos do polinômio
usando
e
para descobrir onde
cresce ou decresce, seus extremos, intervalos de concavidade e pontos de inflexão, e em seguida traçar o gráfico qualitativo de
.
Passo 2
Calculemos a primeira derivada e seus zeros críticos.
Fator comum
:
Numericamente (por tentativa e ajuste) achamos que os únicos zeros reais são
Analisando o sinal de
nas regiões definidas:
- Para
e para , . - Para
, .
Logo,é decrescente em e crescente em . No ponto há tangente horizontal, mas sem troca de sinal de , portanto não é extremo. Em muda de negativo para positivo, revelando um mínimo local.
Passo 3
Calculemos a segunda derivada e seus pontos de inflexão:
Resolvendo numericamente
, obtemos as duas raízes reais
Verificando o sinal de
:
- Para
e , ⇒ é côncava para cima. - Para
, ⇒ é côncava para baixo.
Logo há pontos de inflexão eme .
Passo 4
Calculemos os valores de
nos pontos notáveis:
-
. - No mínimo
:
- Nos pontos de inflexão:
Passo 5
Esboço qualitativo do gráfico de
:
- Como
para (grau par com coeficiente positivo), as “pontas” vão para cima. -
decresce desde em até a horizontal em (ponto de inflexão sem extremo), continua decrescendo até atingir mínimo local em . - A partir de
, cresce sem limite. - A concavidade muda de cima para baixo em
(inflexão) e de baixo para cima em (inflexão).
Resposta
Intervalos de crescimento e decrescimento:
Extremo: mínimo local em
com
.
Concavidade e pontos de inflexão:
Concavidade e pontos de inflexão:
com inflexões em
e
.