Faça os gráficos de f que revelem todos os aspectos da curva. Use os gráficos de f^{\prime} e f^{\prime \prime} para estimar os intervalos de crescimento e de decrescimento, valores extremos, intervalos de concavidade e pontos de inflexão. No Exercício 35, use o cálculo para achar exatamente essas quantidades.
f(x)=3 x^{6}-5 x^{5}+x^{4}-5 x^{3}-2 x^{2}+2

Passo 1

O enunciado pede para estudarmos todos os aspectos do polinômio
f(x)=3x^{6}-5x^{5}+x^{4}-5x^{3}-2x^{2}+2,
usando f' e f'' para descobrir onde f cresce ou decresce, seus extremos, intervalos de concavidade e pontos de inflexão, e em seguida traçar o gráfico qualitativo de f.

Passo 2

Calculemos a primeira derivada e seus zeros críticos.
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{6}-5x^{5}+x^{4}-5x^{3}-2x^{2}+2\bigr) =18x^{5}-25x^{4}+4x^{3}-15x^{2}-4x.
Fator comum x:
f'(x)=x\,(18x^{4}-25x^{3}+4x^{2}-15x-4).
Numericamente (por tentativa e ajuste) achamos que os únicos zeros reais são
x_{1}=0,\quad x_{2}\approx1{,}624.
Analisando o sinal de f' nas regiões definidas:
  • Para x<0 e para 0<x<1{,}624, f'(x)<0.
  • Para x>1{,}624, f'(x)>0.
    Logo, f é decrescente em (-\infty,1{,}624) e crescente em (1{,}624,\infty). No ponto x=0 há tangente horizontal, mas sem troca de sinal de f', portanto não é extremo. Em x\approx1{,}624 f' muda de negativo para positivo, revelando um mínimo local.

Passo 3

Calculemos a segunda derivada e seus pontos de inflexão:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(18x^{5}-25x^{4}+4x^{3}-15x^{2}-4x\bigr) =90x^{4}-100x^{3}+12x^{2}-30x-4.
Resolvendo numericamente f''(x)=0, obtemos as duas raízes reais
x_{a}\approx-0{,}123,\quad x_{b}\approx1{,}244.
Verificando o sinal de f'':
  • Para x<x_{a} e x>x_{b}, f''(x)>0 f é côncava para cima.
  • Para x_{a}<x<x_{b}, f''(x)<0 f é côncava para baixo.
    Logo há pontos de inflexão em x\approx-0{,}123 e x\approx1{,}244.

Passo 4

Calculemos os valores de f nos pontos notáveis:
  • f(0)=2.
  • No mínimo x\approx1{,}624:
f(1{,}624)\approx-19{,}16.
  • Nos pontos de inflexão:
f(-0{,}123)\approx1{,}979, \quad f(1{,}244)\approx-12{,}085.

Passo 5

Esboço qualitativo do gráfico de f:
  1. Como f(x)\to+\infty para x\to\pm\infty (grau par com coeficiente positivo), as “pontas” vão para cima.
  2. f decresce desde +\infty em x=-\infty até a horizontal em x=0 (ponto de inflexão sem extremo), continua decrescendo até atingir mínimo local em \bigl(1{,}624,\,-19{,}16\bigr).
  3. A partir de x\approx1{,}624, f cresce sem limite.
  4. A concavidade muda de cima para baixo em x\approx-0{,}123 (inflexão) e de baixo para cima em x\approx1{,}244 (inflexão).

Resposta

Intervalos de crescimento e decrescimento:
\text{decrescente em }(-\infty,\,1{,}624),\quad \text{crescente em }(1{,}624,\,\infty).
Extremo: mínimo local em x\approx1{,}624 com f(1{,}624)\approx-19{,}16.
Concavidade e pontos de inflexão:
\text{côncava para cima em }(-\infty,\,-0{,}123)\cup(1{,}244,\infty),ô
\text{côncava para baixo em }(-0{,}123,\,1{,}244),ô
com inflexões em x\approx-0{,}123 e x\approx1{,}244.

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