Faça os gráficos das seguintes funções:
g(x)=|x-3|

Passo 1

Enunciado claro: a função dada é g(x)=|x-3|. O que se pede: fazer o gráfico de g.
Informações que o enunciado dá (direto do que está escrito):
  • A expressão da função é g(x)=|x-3|.
  • Não há restrição explícita no domínio (logo, inicialmente considerar x variando em todos os reais).

Passo 2

Entendendo o valor absoluto (a ferramenta que vamos usar). Por definição, para qualquer número real u vale
|u| = \begin{cases} u, & u\ge 0,\\[4pt] -u, & u<0. \end{cases}
O que isso significa na prática: o valor absoluto transforma tudo em não-negativo; se o argumento já é não-negativo, mantemos; se é negativo, trocamos o sinal. Para esboçar gráficos de funções com valor absoluto, o método padrão é escrever a função em forma piecewise (por partes) aplicando essa definição ao argumento do módulo.]

Passo 3

Aplicando a definição ao nosso caso. Aqui o argumento do módulo é u=x-3. Então:
  • Se x-3\ge 0 (ou seja, x\ge 3), então |x-3|=x-3.
  • Se x-3<0 (ou seja, x<3), então |x-3|=-(x-3)=3-x.
Escrevendo de forma clara em peça:
g(x)=|x-3|=\begin{cases} 3-x, & x<3,\\[4pt] x-3, & x\ge 3. \end{cases}]

Passo 4

Interpretação geométrica das duas partes (isso já diz como desenhar):
  • Para x<3 a função é a reta g(x)=3-x. Essa reta tem inclinação -1 (desce com coeficiente angular -1).
  • Para x\ge 3 a função é a reta g(x)=x-3. Essa reta tem inclinação +1 (sobe com coeficiente angular +1).
    As duas retas se encontram no ponto x=3, onde g(3)=|3-3|=0. Esse ponto (3,0) é o vértice da forma em “V” que o módulo sempre gera.

Passo 5

Calcule alguns pontos para plotar com segurança (mostre as contas, ponto a ponto):
  • Para x=-1: g(-1)=|{-1}-3|=|{-4}|=4. Ponto (-1,4).
  • Para x=0: g(0)=|0-3|=|{-3}|=3. Ponto (0,3).
  • Para x=2: g(2)=|2-3|=|{-1}|=1. Ponto (2,1).
  • Para x=3: g(3)=|3-3|=0. Ponto (3,0) — vértice.
  • Para x=4: g(4)=|4-3|=1. Ponto (4,1).
  • Para x=6: g(6)=|6-3|=3. Ponto (6,3).
Com esses pontos dá para desenhar: para x<3 ligue os pontos por uma reta com inclinação -1 que vai até (3,0); para x\ge3 ligue (3,0) com os pontos à direita por uma reta com inclinação +1. O gráfico resultante é um “V” com vértice em (3,0).

Passo 6

Propriedades úteis do gráfico (resumo prático para a prova):
  • Domínio: \mathbb{R} (todos os reais).
  • Imagem (contradomínio efetivo): [0,\infty) porque valor absoluto nunca é negativo.
  • Interceptos:
    • Interseção com o eixo x: x=3 (ponto (3,0)).
    • Interseção com o eixo y: g(0)=3 (ponto (0,3)).
  • Inclinações: ramo esquerdo tem coeficiente angular -1; ramo direito tem coeficiente angular +1.
  • Continuidade: a função é contínua em todo lugar; não há quebras.
Dica de desenho rápido: comece desenhando f(x)=|x| (vértice em (0,0)), depois translate a curva 3 unidades para a direita para obter g(x)=|x-3|. Isso dá o mesmo resultado de forma rápida.

Resposta

g(x)=|x-3|=\begin{cases} 3-x, & x<3,\\[4pt] x-3, & x\ge 3, \end{cases}
Vértice em (3,0). Domínio \mathbb{R}. Imagem [0,\infty). Interseções: eixo x em (3,0), eixo y em (0,3). Ramo esquerdo com inclinação -1, ramo direito com inclinação +1.]

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