Faça os gráficos das seguintes funções:
Passo 1
Enunciado claro: a função dada é
. O que se pede: fazer o gráfico de
.
Informações que o enunciado dá (direto do que está escrito):
Informações que o enunciado dá (direto do que está escrito):
- A expressão da função é
. - Não há restrição explícita no domínio (logo, inicialmente considerar
variando em todos os reais).
Passo 2
Entendendo o valor absoluto (a ferramenta que vamos usar). Por definição, para qualquer número real
vale
O que isso significa na prática: o valor absoluto transforma tudo em não-negativo; se o argumento já é não-negativo, mantemos; se é negativo, trocamos o sinal. Para esboçar gráficos de funções com valor absoluto, o método padrão é escrever a função em forma piecewise (por partes) aplicando essa definição ao argumento do módulo.]
Passo 3
Aplicando a definição ao nosso caso. Aqui o argumento do módulo é
. Então:
- Se
(ou seja, ), então . - Se
(ou seja, ), então .
Escrevendo de forma clara em peça:
Passo 4
Interpretação geométrica das duas partes (isso já diz como desenhar):
- Para
a função é a reta . Essa reta tem inclinação (desce com coeficiente angular ). - Para
a função é a reta . Essa reta tem inclinação (sobe com coeficiente angular ).
As duas retas se encontram no ponto, onde . Esse ponto é o vértice da forma em “V” que o módulo sempre gera.
Passo 5
Calcule alguns pontos para plotar com segurança (mostre as contas, ponto a ponto):
- Para
: . Ponto . - Para
: . Ponto . - Para
: . Ponto . - Para
: . Ponto — vértice. - Para
: . Ponto . - Para
: . Ponto .
Com esses pontos dá para desenhar: para
ligue os pontos por uma reta com inclinação
que vai até
; para
ligue
com os pontos à direita por uma reta com inclinação
. O gráfico resultante é um “V” com vértice em
.
Passo 6
Propriedades úteis do gráfico (resumo prático para a prova):
- Domínio:
(todos os reais). - Imagem (contradomínio efetivo):
porque valor absoluto nunca é negativo. - Interceptos:
- Interseção com o eixo
: (ponto ). - Interseção com o eixo
: (ponto ).
- Interseção com o eixo
- Inclinações: ramo esquerdo tem coeficiente angular
; ramo direito tem coeficiente angular . - Continuidade: a função é contínua em todo lugar; não há quebras.
Dica de desenho rápido: comece desenhando
(vértice em
), depois translate a curva 3 unidades para a direita para obter
. Isso dá o mesmo resultado de forma rápida.
Resposta
Vértice em
. Domínio
. Imagem
. Interseções: eixo
em
, eixo
em
. Ramo esquerdo com inclinação
, ramo direito com inclinação
.]