Faça os gráficos das seguintes funções:
g(x)=-x^{2}+9

Passo 1

O enunciado pede: "Faça o gráfico da função g(x) = -x^{2} + 9".
Informações que temos (apenas o que está no enunciado):
  • A função dada é g(x)= -x^{2} + 9.
    O objetivo é esboçar o gráfico (parábola) e identificar os pontos e características que permitem desenhá-lo corretamente.

Passo 2

Identificar o tipo de função e os coeficientes úteis.
Uma função quadrática tem a forma geral ax^{2}+bx+c. Comparando:
g(x) = -x^{2} + 9 = (-1)x^{2} + 0\cdot x + 9,
portanto:
a = -1,\qquad b = 0,\qquad c = 9.
O sinal de a diz a concavidade:
  • Como a=-1<0, a parábola é côncava para baixo (abre para baixo), então tem um máximo (vértice máximo).

Passo 3

Encontrar o vértice (o ponto máximo).
Fórmula do vértice para uma quadrática ax^{2}+bx+c: a abscissa do vértice é
x_{v} = -\frac{b}{2a}.
Substituindo a=-1 e b=0:
x_{v} = -\frac{0}{2\cdot(-1)} = 0.
A ordenada do vértice é g(x_{v}). Calculando:
g(0) = -0^{2} + 9 = 9.
Logo o vértice é (0,9).
Observação alternativa (completar o quadrado) para ver a forma canônica:
g(x) = -x^{2}+9 = -(x^{2}-9) = -(x-0)^{2}+9,
que confirma que o vértice está em (0,9) e a forma é -(x-0)^{2}+9.

Passo 4

Eixo de simetria.
O eixo de simetria é a reta vertical que passa pelo vértice:
x = 0.
Ou seja, a parábola é simétrica em relação ao eixo y (é uma função par, já que g(-x)=g(x)).

Passo 5

Interceptos com os eixos.
  • Intercepto com o eixo y: é g(0). Já calculamos g(0)=9. Então o ponto é (0,9).
  • Interceptos com o eixo x: resolver g(x)=0:
-x^{2}+9=0 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=9 \quad\Rightarrow\quad x=\pm 3.
Portanto os interceptos x são (-3,0) e (3,0).

Passo 6

Domínio e imagem (intervalo de valores).
  • Domínio: toda a reta, pois polinômios estão definidos para qualquer x:
\text{Domínio} = \mathbb{R}.í
  • Imagem (valores de g(x)): como a parábola abre para baixo e tem máximo 9 no vértice,
\text{Imagem} = (-\infty,\,9].

Passo 7

Comportamento nas extremidades e simetria prática.
  • Quando |x|\to\infty, g(x) = -x^{2}+9 \to -\infty. Logo as pontas da parábola descem indefinidamente.
  • Por simetria, basta calcular pontos para x\ge 0 e espelhar para x<0.

Passo 8

Tabela de pontos para ajudar a desenhar (calculei explicitamente cada valor):
\begin{array}{c|c} x & g(x)\\hline -4 & -4^{2}+9 = -16+9 = -7\\\\ -3 & -3^{2}+9 = -9+9 = 0\\\\ -2 & -2^{2}+9 = -4+9 = 5\\\\ -1 & -1^{2}+9 = -1+9 = 8\\\\ 0 & 9\\\\ 1 & 8\\\\ 2 & 5\\\\ 3 & 0\\\\ 4 & -7 \end{array}
Esses pontos ( (-4,-7),(-3,0),(-2,5),(-1,8),(0,9),(1,8),(2,5),(3,0),(4,-7)) dão boa noção da forma da parábola.

Passo 9

Como desenhar à mão rápido na prova (passo a passo prático):
  1. Desenhe sistemas de eixos x e y. Marque uma escala regular (por exemplo, cada marca = 1 unidade).
  2. Marque o vértice (0,9) no eixo y.
  3. Marque os interceptos (-3,0) e (3,0).
  4. Use a tabela: marque (\pm1,8), (\pm2,5), (\pm4,-7) — os pontos simétricos ajudam bastante.
  5. Ligue os pontos com uma curva suave e simétrica, fazendo a parábola côncava para baixo. Não faça arestas — parábola é uma curva suave.
    Dica: primeiro desenhe o arco superior passando por (0,9) e (\pm1,8) e depois vá desenhando para baixo até (\pm4,-7) mostrando a descida.

Passo 10

Resumo final dos dados mais úteis para o gráfico (cole no caderno para desenhar):
  • Vértice: (0,9).
  • Eixo de simetria: x=0.
  • Interceptos: y-intercepto (0,9); x-interceptos (-3,0) e (3,0).
  • Domínio: \mathbb{R}.
  • Imagem: (-\infty,9].
  • Concavidade: para baixo ( a=-1).
  • Pontos auxiliares: (\pm1,8),(\pm2,5),(\pm4,-7).

Resposta

Parábola côncava para baixo com vértice em (0,9); interceptos em (-3,0) e (3,0); intercepto em y em (0,9); domínio \mathbb{R}; imagem (-\infty,9].

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