Faça os gráficos das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: "Faça o gráfico da função
".
Informações que temos (apenas o que está no enunciado):
Informações que temos (apenas o que está no enunciado):
- A função dada é
.
O objetivo é esboçar o gráfico (parábola) e identificar os pontos e características que permitem desenhá-lo corretamente.
Passo 2
Identificar o tipo de função e os coeficientes úteis.
Uma função quadrática tem a forma geral . Comparando:
Uma função quadrática tem a forma geral
portanto:
O sinal de
diz a concavidade:
- Como
, a parábola é côncava para baixo (abre para baixo), então tem um máximo (vértice máximo).
Passo 3
Encontrar o vértice (o ponto máximo).
Fórmula do vértice para uma quadrática : a abscissa do vértice é
Fórmula do vértice para uma quadrática
Substituindo
e
:
A ordenada do vértice é
. Calculando:
Logo o vértice é
.
Observação alternativa (completar o quadrado) para ver a forma canônica:
que confirma que o vértice está em
e a forma é
.
Passo 4
Eixo de simetria.
O eixo de simetria é a reta vertical que passa pelo vértice:
O eixo de simetria é a reta vertical que passa pelo vértice:
Ou seja, a parábola é simétrica em relação ao eixo
(é uma função par, já que
).
Passo 5
Interceptos com os eixos.
- Intercepto com o eixo
: é . Já calculamos . Então o ponto é . - Interceptos com o eixo
: resolver :
Portanto os interceptos
são
e
.
Passo 6
Domínio e imagem (intervalo de valores).
- Domínio: toda a reta, pois polinômios estão definidos para qualquer
:
- Imagem (valores de
): como a parábola abre para baixo e tem máximo no vértice,
Passo 7
Comportamento nas extremidades e simetria prática.
- Quando
, . Logo as pontas da parábola descem indefinidamente. - Por simetria, basta calcular pontos para
e espelhar para .
Passo 8
Tabela de pontos para ajudar a desenhar (calculei explicitamente cada valor):
Esses pontos (
) dão boa noção da forma da parábola.
Passo 9
Como desenhar à mão rápido na prova (passo a passo prático):
- Desenhe sistemas de eixos
e . Marque uma escala regular (por exemplo, cada marca = 1 unidade). - Marque o vértice
no eixo . - Marque os interceptos
e . - Use a tabela: marque
, , — os pontos simétricos ajudam bastante. - Ligue os pontos com uma curva suave e simétrica, fazendo a parábola côncava para baixo. Não faça arestas — parábola é uma curva suave.
Dica: primeiro desenhe o arco superior passando pore e depois vá desenhando para baixo até mostrando a descida.
Passo 10
Resumo final dos dados mais úteis para o gráfico (cole no caderno para desenhar):
- Vértice:
. - Eixo de simetria:
. - Interceptos:
-intercepto ; -interceptos e . - Domínio:
. - Imagem:
. - Concavidade: para baixo (
). - Pontos auxiliares:
.
Resposta
Parábola côncava para baixo com vértice em
; interceptos em
e
; intercepto em
em
; domínio
; imagem
.