Faça os gráficos das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para fazer o(s) gráfico(s).
Informações diretas do enunciado:
Informações diretas do enunciado:
- A função é
. - Não há imagens ou dados extras fornecidos.
Pergunta a responder: desenhar/esboçar o gráfico dee identificar suas propriedades úteis para traçar o gráfico (vértice, concavidade, interceptos, domínio, imagem, etc.).
Passo 2
Observar a forma e os coeficientes (para escolher ferramentas simples de desenho). Escrevo a função em termos dos coeficientes de um polinômio quadrático geral
:
Comentário rápido (didático): o coeficiente
controla se a parábola abre para cima (
) ou para baixo (
). Aqui
, então a curva abre para cima.
Passo 3
Achar o vértice da parábola (ponto de mínimo, já que abre para cima). Vou usar três maneiras, explicando cada uma (pra você escolher a que lembrar na prova):
Método 1 — completar o quadrado (mais direto e didático):
Isso já está na forma
, com
e
. Logo o vértice é
.
Método 2 — fórmula do vértice para
:
então vértice
.
Método 3 — derivada (interpretação de mínimo):
Zerando
dá
; aí
. Mesmo resultado: vértice em
.
Passo 4
Determinar domínio e imagem (range), que são essenciais para desenhar o gráfico:
- Domínio: um polinômio está definido para todos os reais, então
- Imagem (pela observação do vértice e abertura para cima): o menor valor de
é no vértice, e a função cresce para para |x| grandes. Portanto
Passo 5
Interceptos com os eixos (pontos que ajudam no esqueleto do desenho):
- Intercepto com o eixo
: ocorre em :
então o intercepto é
. Note que este é também o vértice.
- Interceptos com o eixo
(raízes): resolver :
Não existem soluções reais, logo não há interseção com o eixo
(não há raízes reais).
Passo 6
Monotonicidade (para saber onde a curva está subindo ou descendo): usar a derivada
- Para
, → função decresce quando . - Para
, → função cresce quando .
Assim a função decresce até o vértice eme aumenta depois dele. Isso confirma que é mínimo.
Passo 7
Concavidade (forma da curva) usando a segunda derivada:
Como
, a curva é côncava para cima em toda parte (forma de “U”).
Passo 8
Simetria e transformação a partir da parábola básica
:
- A função
é par porque . Logo o gráfico é simétrico em relação ao eixo (eixo ). - Transformação:
é exatamente a parábola padrão transladada uma unidade para cima. Isso significa que cada ponto do gráfico de vira no gráfico de . Exemplo rápido: em vira em .
Passo 9
Construir uma tabela de pontos para esboçar (escolha pontos simétricos e fáceis): calcule
para
.
Como guia de desenho: marque o vértice
, os pontos
,
,
; una suavemente formando uma curva em “U” simétrica, com concavidade para cima. Sugestão prática de escala: usar unidades iguais nos eixos e garantir que o eixo
cubra pelo menos de
a
para visualizar bem a forma.
Passo 10
Resumo de como desenhar na prova (passo a passo prático):
- Faça os eixos
e com a mesma escala. - Marque o vértice
. - Marque pontos da tabela:
, , . - Desenhe uma curva suave em “U” passando por esses pontos, simétrica em relação ao eixo
, sem cortar o eixo . - Indique que não há raízes reais e que a imagem é
.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Vértice:
Eixo de simetria:
Abertura: para cima (pois )
Intercepto com :
Interceptos com : nenhum (sem raízes reais)
Monotonicidade: decresce em , cresce em
Concavidade: côncava para cima em todo
Imagem:
Vértice:
Eixo de simetria:
Abertura: para cima (pois
Intercepto com
Interceptos com
Monotonicidade: decresce em
Concavidade: côncava para cima em todo