Faça os gráficos das seguintes funções:
h(x)=x^{2}+1

Passo 1

O enunciado dá a função h(x)=x^{2}+1 e pede para fazer o(s) gráfico(s).
Informações diretas do enunciado:
  • A função é h(x)=x^{2}+1.
  • Não há imagens ou dados extras fornecidos.
    Pergunta a responder: desenhar/esboçar o gráfico de h(x) e identificar suas propriedades úteis para traçar o gráfico (vértice, concavidade, interceptos, domínio, imagem, etc.).

Passo 2

Observar a forma e os coeficientes (para escolher ferramentas simples de desenho). Escrevo a função em termos dos coeficientes de um polinômio quadrático geral ax^{2}+bx+c:
h(x)=x^{2}+1 \quad\text{tem}\quad a=1,\quad b=0,\quad c=1.
Comentário rápido (didático): o coeficiente a controla se a parábola abre para cima ( a>0) ou para baixo ( a<0). Aqui a=1>0, então a curva abre para cima.

Passo 3

Achar o vértice da parábola (ponto de mínimo, já que abre para cima). Vou usar três maneiras, explicando cada uma (pra você escolher a que lembrar na prova):
Método 1 — completar o quadrado (mais direto e didático):
h(x)=x^{2}+1=(x-0)^{2}+1.
Isso já está na forma (x-h)^{2}+k, com h=0 e k=1. Logo o vértice é (0,1).
Método 2 — fórmula do vértice para ax^{2}+bx+c:
x_{\text{v}}=-\frac{b}{2a}=-\frac{0}{2\cdot1}=0, \qquad h(x_{\text{v}})=h(0)=1,
então vértice (0,1).
Método 3 — derivada (interpretação de mínimo):
h'(x)=2x.
Zerando h'(x) x=0; aí h(0)=1. Mesmo resultado: vértice em (0,1).

Passo 4

Determinar domínio e imagem (range), que são essenciais para desenhar o gráfico:
  • Domínio: um polinômio está definido para todos os reais, então
\text{domínio} = (-\infty,\infty).í
  • Imagem (pela observação do vértice e abertura para cima): o menor valor de h é 1 no vértice, e a função cresce para \infty para |x| grandes. Portanto
\text{imagem} = [1,\infty).

Passo 5

Interceptos com os eixos (pontos que ajudam no esqueleto do desenho):
  • Intercepto com o eixo y: ocorre em x=0:
h(0)=0^{2}+1=1,
então o intercepto é (0,1). Note que este é também o vértice.
  • Interceptos com o eixo x (raízes): resolver x^{2}+1=0:
x^{2}=-1.
Não existem soluções reais, logo não há interseção com o eixo x (não há raízes reais).

Passo 6

Monotonicidade (para saber onde a curva está subindo ou descendo): usar a derivada
h'(x)=2x.
  • Para x<0, h'(x)=2x<0 → função decresce quando x<0.
  • Para x>0, h'(x)=2x>0 → função cresce quando x>0.
    Assim a função decresce até o vértice em x=0 e aumenta depois dele. Isso confirma que x=0 é mínimo.

Passo 7

Concavidade (forma da curva) usando a segunda derivada:
h''(x)=2>0\\ \text{para todo }x.
Como h''(x)>0, a curva é côncava para cima em toda parte (forma de “U”).

Passo 8

Simetria e transformação a partir da parábola básica y=x^{2}:
  • A função h é par porque h(-x)=(-x)^{2}+1=x^{2}+1=h(x). Logo o gráfico é simétrico em relação ao eixo y (eixo x=0).
  • Transformação: h(x)=x^{2}+1 é exatamente a parábola padrão y=x^{2} transladada uma unidade para cima. Isso significa que cada ponto (x,y) do gráfico de y=x^{2} vira (x,y+1) no gráfico de h. Exemplo rápido: (1,1) em y=x^{2} vira (1,2) em h.

Passo 9

Construir uma tabela de pontos para esboçar (escolha pontos simétricos e fáceis): calcule h(x) para x=-3,-2,-1,0,1,2,3.
\begin{array}{c|c} x & h(x)=x^{2}+1\\hline -3 & (-3)^{2}+1=9+1=10\\\\ -2 & (-2)^{2}+1=4+1=5\\\\ -1 & (-1)^{2}+1=1+1=2\\\\ 0 & 0^{2}+1=1\\\\ 1 & 1^{2}+1=2\\\\ 2 & 2^{2}+1=5\\\\ 3 & 3^{2}+1=10 \end{array}
Como guia de desenho: marque o vértice (0,1), os pontos (\pm1,2), (\pm2,5), (\pm3,10); una suavemente formando uma curva em “U” simétrica, com concavidade para cima. Sugestão prática de escala: usar unidades iguais nos eixos e garantir que o eixo y cubra pelo menos de 1 a 10 para visualizar bem a forma.

Passo 10

Resumo de como desenhar na prova (passo a passo prático):
  1. Faça os eixos x e y com a mesma escala.
  2. Marque o vértice (0,1).
  3. Marque pontos da tabela: (\pm1,2), (\pm2,5), (\pm3,10).
  4. Desenhe uma curva suave em “U” passando por esses pontos, simétrica em relação ao eixo y, sem cortar o eixo x.
  5. Indique que não há raízes reais e que a imagem é [1,\infty).

Resposta

Domínio: (-\infty,\infty)
Imagem: [1,\infty)
Vértice: (0,1)
Eixo de simetria: x=0
Abertura: para cima (pois a=1>0)
Intercepto com y: (0,1)
Interceptos com x: nenhum (sem raízes reais)
Monotonicidade: decresce em (-\infty,0), cresce em (0,\infty)
Concavidade: côncava para cima em todo (-\infty,\infty)

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