Faça os gráficos das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para fazer o gráfico da função quadrática
. Vou listar claramente o que temos e o que é pedido:
- Função dada:
. - Pedido: desenhar (esboçar) o gráfico dessa função — isto é, identificar os pontos-chave e traçar a parábola correspondente.
Passo 2
Entender a forma padrão e a transformação aplicada. A função
pode ser escrita completando o quadrado (aqui é direto):
Isto mostra que é a parábola básica
deslocada verticalmente para baixo em
unidades. Não há deslocamento horizontal nem reflexão, e o fator de abertura é
(mesma “largura” da parábola
).
Passo 3
Domínio e imagem (intervalos importantes):
- Domínio: todos os reais, isto é
, porque está definida para qualquer . - Imagem (contraparte vertical): como é uma parábola que abre para cima e tem mínimo em
, a imagem é
Passo 4
Vértice e eixo de simetria:
- Como a forma é
, o vértice é . - O eixo de simetria é a reta vertical
(o eixo ).
Passo 5
Interceptos com os eixos:
- Intercepto com o eixo
: valor em ,
Logo o ponto
(que é também o vértice).
- Interceptos com o eixo
: resolver ,
Logo os pontos
e
.
Passo 6
Crescimento/decrescimento e mínimo:
- Derivando,
. - Para
, (função decresce); para , (função cresce). Em temos um mínimo local (e global) cujo valor é . Isso confirma o vértice mínimo em .
Passo 7
Tabela de pontos úteis (para desenhar): vou calcular passo a passo para alguns
simétricos em relação ao eixo
.
-
→ ponto . -
→ ponto . -
→ ponto . -
→ ponto . -
→ ponto . -
→ ponto . -
→ ponto .
Esses pontos são simétricos em pares
e
,
e
, etc., o que ajuda a desenhar a curva com precisão.
Passo 8
Como esboçar o gráfico passo a passo (o que fazer na folha):
- Desenhe e marque os eixos
e ; marque uma escala uniforme (por ex.: 1 unidade por quadradinho). - Marque o vértice
. - Marque os interceptos com
: e . - Marque alguns pontos adicionais da tabela, por exemplo
e , e . - Ligue os pontos com uma curva suave em forma de U que abre para cima, respeitando a simetria em torno de
. Não esqueça que para grandes os valores sobem rápido (parabolicamente). - Rotule o vértice e os interceptos para clareza.
Passo 9
Dicas práticas para prova (resumo do método que sempre uso):
- Reescrever como
revela deslocamentos; aqui , . - Ache vértice, interceptos e alguns pontos simétricos; isso geralmente basta para um esboço correto.
- Use a derivada
só se quiser justificar crescimento/decrescimento e o mínimo.
Passo 10
Exemplo rápido comparativo para fixar a ideia:
-
tem vértice . Subtrair desloca para baixo: tem vértice . - Se fosse
, o vértice seria (deslocamento à direita de 1).
Resposta
Vértice
Eixo de simetria
Interceptos com :
e
Intercepto com :
Domínio
Imagem
Gráfico: parábola que abre para cima, deslocada 4 unidades para baixo em relação a , passando pelos pontos listados na tabela.
Eixo de simetria
Interceptos com
Intercepto com
Domínio
Imagem
Gráfico: parábola que abre para cima, deslocada 4 unidades para baixo em relação a