Faça os gráficos das seguintes funções:
h(x)=x^{2}-4

Passo 1

O enunciado pede para fazer o gráfico da função quadrática h(x)=x^{2}-4. Vou listar claramente o que temos e o que é pedido:
  • Função dada: h(x)=x^{2}-4.
  • Pedido: desenhar (esboçar) o gráfico dessa função — isto é, identificar os pontos-chave e traçar a parábola correspondente.

Passo 2

Entender a forma padrão e a transformação aplicada. A função h(x)=x^{2}-4 pode ser escrita completando o quadrado (aqui é direto):
h(x)=(x-0)^{2}-4.
Isto mostra que é a parábola básica y=x^{2} deslocada verticalmente para baixo em 4 unidades. Não há deslocamento horizontal nem reflexão, e o fator de abertura é 1 (mesma “largura” da parábola y=x^{2}).

Passo 3

Domínio e imagem (intervalos importantes):
  • Domínio: todos os reais, isto é \mathbb{R}, porque x^{2}-4 está definida para qualquer x.
  • Imagem (contraparte vertical): como é uma parábola que abre para cima e tem mínimo em -4, a imagem é
[-4,\infty).

Passo 4

Vértice e eixo de simetria:
  • Como a forma é (x-0)^{2}-4, o vértice é (0,-4).
  • O eixo de simetria é a reta vertical x=0 (o eixo y).

Passo 5

Interceptos com os eixos:
  • Intercepto com o eixo y: valor em x=0,
h(0)=0^{2}-4=-4.
Logo o ponto (0,-4) (que é também o vértice).
  • Interceptos com o eixo x: resolver x^{2}-4=0,
x^{2}=4 \quad\Rightarrow\quad x=\pm 2.
Logo os pontos (-2,0) e (2,0).

Passo 6

Crescimento/decrescimento e mínimo:
  • Derivando, h'(x)=2x.
  • Para x<0, h'(x)<0 (função decresce); para x>0, h'(x)>0 (função cresce). Em x=0 temos um mínimo local (e global) cujo valor é -4. Isso confirma o vértice mínimo em (0,-4).

Passo 7

Tabela de pontos úteis (para desenhar): vou calcular passo a passo para alguns x simétricos em relação ao eixo x=0.
  • x=-3:\quad h(-3)=(-3)^{2}-4=9-4=5 → ponto (-3,5).
  • x=-2:\quad h(-2)=4-4=0 → ponto (-2,0).
  • x=-1:\quad h(-1)=1-4=-3 → ponto (-1,-3).
  • x=0:\quad h(0)=-4 → ponto (0,-4).
  • x=1:\quad h(1)=1-4=-3 → ponto (1,-3).
  • x=2:\quad h(2)=4-4=0 → ponto (2,0).
  • x=3:\quad h(3)=9-4=5 → ponto (3,5).
Esses pontos são simétricos em pares (-3,5) e (3,5), (-2,0) e (2,0), etc., o que ajuda a desenhar a curva com precisão.

Passo 8

Como esboçar o gráfico passo a passo (o que fazer na folha):
  1. Desenhe e marque os eixos x e y; marque uma escala uniforme (por ex.: 1 unidade por quadradinho).
  2. Marque o vértice (0,-4).
  3. Marque os interceptos com x: (-2,0) e (2,0).
  4. Marque alguns pontos adicionais da tabela, por exemplo (-1,-3) e (1,-3), (-3,5) e (3,5).
  5. Ligue os pontos com uma curva suave em forma de U que abre para cima, respeitando a simetria em torno de x=0. Não esqueça que para grandes |x| os valores sobem rápido (parabolicamente).
  6. Rotule o vértice e os interceptos para clareza.

Passo 9

Dicas práticas para prova (resumo do método que sempre uso):
  • Reescrever como (x-h)^{2}+k revela deslocamentos; aqui h=0, k=-4.
  • Ache vértice, interceptos e alguns pontos simétricos; isso geralmente basta para um esboço correto.
  • Use a derivada 2x só se quiser justificar crescimento/decrescimento e o mínimo.

Passo 10

Exemplo rápido comparativo para fixar a ideia:
  • y=x^{2} tem vértice (0,0). Subtrair 4 desloca para baixo: y=x^{2}-4 tem vértice (0,-4).
  • Se fosse y=(x-1)^{2}-4, o vértice seria (1,-4) (deslocamento à direita de 1).

Resposta

Vértice (0,-4)
Eixo de simetria x=0
Interceptos com x: (-2,0) e (2,0)
Intercepto com y: (0,-4)
Domínio \mathbb{R}
Imagem [ -4,\infty )
Gráfico: parábola que abre para cima, deslocada 4 unidades para baixo em relação a y=x^{2}, passando pelos pontos listados na tabela.

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