Sem utilizar calculadora, calcule o valor de:
(57,62)^{2}-(42,38)^{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor de \,(57,62)^{2}-(42,38)^{2}.
Informações dadas:
  • O primeiro número é \,57,62.
  • O segundo número é \,42,38.
  • Precisa-se do resultado exato sem usar calculadora.

Passo 2

Estratégia: usar a identidade conhecida chamada “diferença de quadrados”:
(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}.
Prova curta dessa fórmula (para lembrar por que funciona): ao desenvolver (a-b)(a+b) pelo distributivo:
(a-b)(a+b)=a\cdot a + a\cdot b - b\cdot a - b\cdot b = a^{2}-b^{2},
pois a\cdot b e -b\cdot a se cancelam.
Essa técnica é útil aqui porque evita calcular dois quadrados completos; basta somar, subtrair e multiplicar valores mais simples.

Passo 3

Defino a=57,62 e b=42,38. Primeiro calculo a+b:
Alinhando as casas decimais:
57,62+42,38
Somando as partes decimais: 0,62+0,38=1,00 — isso dá uma unidade inteira carregada. Somando as partes inteiras com o carry: 57+42=99 e mais 1 do carry = 100. Logo
a+b=100,00.

Passo 4

Agora calculo a-b:
Alinhando as casas decimais:
57,62-42,38
Subtraindo as partes decimais: 0,62-0,38=0,24. Subtraindo as partes inteiras: 57-42=15. Portanto
a-b=15,24.

Passo 5

Aplicando a identidade \,a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b), obtemos
(57,62)^{2}-(42,38)^{2}=(15,24)\cdot(100,00).
Multiplicar por 100,00 desloca a vírgula duas casas para a direita:
(15,24)\cdot(100,00)=1524,00.
Como resultado numérico final temos 1524.

Resposta

1524

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