Faça o mesmo para
integral0^infty d xx^3+1=2 pi3 raiz3

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria integral0^infty!dfracdxx^3+1, usando ferramentas de funções especiais (Beta/Gamma) ou fórmulas conhecidas de integrais do tipo integral0^inftyx^p-1/(1+x),dx.

Passo 2

Fazemos a substituição t = x^3. Então x = t^1/3 e dx = tfrac13t^-2/3,dt. Assim,

Passo 3

Reconhecemos a fórmula conhecida
$$\n\int_{0}{\infty}t{p-1}\frac{dt}{1+t} = \frac{\pi}{\sin(\pi p)},\quad 0<p<1.
nintegral0^inftyt^p-1dt1+t = pisin(pi p), 0ã\n\int_{0}{\infty}t{-2/3}\frac{dt}{1+t} = \frac{\pi}{\sin(\pi/3)} = \frac{\pi}{\sqrt{3}/2} = \frac{2\pi}{\sqrt{3}}.$$

Passo 4

Multiplicando pelo fator 1/3 da substituição, obtemos o resultado final.

Resposta

2pi3raiz3

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