Nos items a seguir, esboce o sólido limitado pelos gráficos das expressões dadas e use uma integral tripla para obter seu volume.
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos o volume do sólido limitado pelas superfícies
,
,
e
. O conteúdo é integração tripla para cálculo de volume, e vamos precisar entender como projetar a região no plano
e escolher uma ordem de integração adequada.
Passo 2
Descrição da região e projeção no plano
: como
varia entre
e
, basta projetar nosso sólido no plano
. As superfícies
e
limitam essa projeção. Logo, a região projetada é
Passo 3
Montagem da integral tripla: o volume é dado por
Passo 4
Escolha dos limites em
e
: para cada
, o
vai de
até
. Como
, temos
. Assim,
Passo 5
Cálculo interno (integração em
): separamos em duas partes:
Então,
Passo 6
Cálculo externo (integração em
): montamos
Integrando termo a termo: 1)
. 2)
. 3)
. 4)
Passo 7
Somando tudo: coloque tudo sobre o mesmo denominador 105: 1)
. 2)
. Somatório positivo:
. Subtraindo
e
dá
Passo 8
Concluímos que o volume do sólido é
.