Nos items a seguir, esboce o sólido limitado pelos gráficos das expressões dadas e use uma integral tripla para obter seu volume.
y=x^2+z^2 ; z=x^2 ; z=4 ; y=0

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos o volume do sólido limitado pelas superfícies y=0, y=x^2+z^2, z=x^2 e z=4. O conteúdo é integração tripla para cálculo de volume, e vamos precisar entender como projetar a região no plano xz e escolher uma ordem de integração adequada.

Passo 2

Descrição da região e projeção no plano xz: como y varia entre 0 e x^2+z^2, basta projetar nosso sólido no plano xz. As superfícies z=x^2 e z=4 limitam essa projeção. Logo, a região projetada é
R=(x,z): x^2<= z<=4,

Passo 3

Montagem da integral tripla: o volume é dado por
V=integral triplasólido dV =integral duplaR l(integraly=0^y=x^2+z^2 dyr) dA =integral duplaR (x^2+z^2),dA ó

Passo 4

Escolha dos limites em x e z: para cada x, o z vai de z=x^2 até z=4. Como x^2<=4, temos -2<= x<=2. Assim,
V=integralx=-2^2integralz=x^2^4(x^2+z^2),dz,dx

Passo 5

Cálculo interno (integração em z): separamos em duas partes:
integralz=x^2^4x^2,dz=x^2l(4-x^2r),
integralz=x^2^4z^2,dz=13l(4^3-(x^2)^3r)=13(64-x^6)
Então,
integralz=x^2^4(x^2+z^2)dz= x^2(4-x^2)+13(64-x^6)

Passo 6

Cálculo externo (integração em x): montamos
V=integral-2^2l[4x^2-x^4+643-x^63r]dx
Integrando termo a termo: 1) integral-2^24x^2dx=4cdottfrac163=tfrac643. 2) integral-2^2(-x^4)dx=-tfrac645. 3) integral-2^2tfrac643dx=tfrac643cdot4=tfrac2563. 4) integral-2^2l(-tfracx^63r)dx=-tfrac13cdottfrac2567=-tfrac25621

Passo 7

Somando tudo: coloque tudo sobre o mesmo denominador 105: 1) tfrac2563=tfrac256cdot35105=tfrac8960105. 2) tfrac643=tfrac2240105. Somatório positivo: tfrac8960+2240105=tfrac11200105. Subtraindo tfrac645=tfrac1344105 e tfrac25621=tfrac1280105
V=11200-1344-1280105=8576105

Passo 8

Concluímos que o volume do sólido é tfrac8576105.

Resposta

V=8576105.

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