Use a Transformada de Laplace para obter resolver cada um dos problemas a valores iniciais,
ly^prime prime+2 y^prime+3 y=sen(t)+de

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de segunda ordem com forçamento misto (função seno e delta de Dirac) e condições iniciais nulas, usando Transformada de Laplace. Vamos precisar das fórmulas \ L{y’’}=s^2Y(s)-sy(0)-y’(0), L{y’}=sY(s)-y(0), L{\sin t}=1/(s^2+1) e da propriedade de deslocamento para de.

Passo 2

Aplicamos Laplace em ambos os lados de \y’’+2y’+3y=\sin t+\delta(t-3\pi)\ e usamos y(0)=y'(0)=0. Obtemos:
\ s2Y(s)+2sY(s)+3Y(s)=\frac1{s2+1}+e^{-3\pi s}
\

Passo 3

Fatorando Y(s):
\ Y(s)=\frac{1}{(s2+2s+3)(s2+1)};+
;\frac{e^{-3\pi s}}{s^2+2s+3}
\ Chamamos a primeira parcela de Y1(s) e a segunda de Y2(s).

Passo 4

Para inverter Y1(s)=1/[(s^2+2s+3)(s^2+1)], fazemos frações parciais:
\\frac{1}{(s2+1)[(s+1)2+2]}=\frac{As+B}{s2+1}+\frac{Cs+D}{(s+1)2+2}.
\ Igualando numeradores e resolvendo o sistema obtemos A=-tfrac14, B=tfrac14, C=tfrac14, D=tfrac14 Logo
\ Y_1(s)=\frac{-\tfrac14s+\tfrac14}{s2+1}+\frac{\tfrac14s+\tfrac14}{(s+1)2+2}.
\

Passo 5

Invertemos cada termo usando tabelas:
\L{-1}{\tfrac{-\tfrac14s}{s2+1}}=-\tfrac14\cos t,
\
\L{-1}{\tfrac{\tfrac14}{s2+1}}=\tfrac14\sin t,
\
\L{-1}{\tfrac{\tfrac14(s+1)}{(s+1)2+2}}=\tfrac14e^{-t}\cos(\sqrt2,t).
\ Portanto
\y_1(t)=-\tfrac14\cos t+\tfrac14\sin t+\tfrac14e^{-t}\cos(\sqrt2,t).
\

Passo 6

Para Y2(s)=e^-3pi s/[(s+1)^2+2] usamos propriedade de deslocamento: se F(s) inverte para f(t), então e^-3pi sF(s) inverte para u(t-3pi)f(t-3pi). Como
\L{-1}{1/[(s+1)2+2]}=\frac1{\sqrt2}e^{-t}\sin(\sqrt2,t),
\ temos
\y_2(t)=u(t-3\pi)\frac1{\sqrt2}e^{-(t-3\pi)}\sin\bigl(\sqrt2,(t-3\pi)\bigr).
\

Passo 7

Somando as duas partes obtemos a solução completa y(t)=y1(t)+y2(t).

Resposta

y(t)=-tfrac14cos t+tfrac14sin t+tfrac14e^-tcos(raiz2,t)+u(t-3pi)tfrac1raiz2e^-(t-3pi)sinl(raiz2,(t-3pi)r).

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