Q2. Seja \left(a_{n}\right) uma sequência convergente com \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=L. Defina a sequência das médias dos n primeiros termos: b_{n}=\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}. Mostre que a sequência \left(b_{n}\right) converge. Determine o valor de \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}.
RESPOSTA:
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
Informação: (a_{n}) é uma sequência convergente com \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n}=L.
Informação: Definimos a sequência das médias dos primeiros n termos por \displaystyle b_{n}=\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}.
Pergunta: Mostrar que a sequência \left(b_{n}\right) converge.
Pergunta: Determinar o valor de \displaystyle \lim_{n\to\infty} b_{n}.
Passo 2
Ideia geral que vamos usar (só ideia, sem formalizar ainda):
Queremos provar que \,b_{n}\to L. Uma maneira clássica é usar um argumento \varepsilon-N: para dado \varepsilon>0 escolhemos N tal que todos os termos a_{k} com k\ge N ficam a menos de \varepsilon de L. Depois escrevemos a média \,b_{n}-L como soma de duas partes: a soma dos poucos termos iniciais (fixos, em número) e a soma dos termos a partir de N (muitos, mas cada um perto de L). Mostramos que a contribuição da parte inicial fica pequena porque é um número fixo dividido por n (vai a zero quando n\to\infty), e a contribuição da parte restante é controlada por \varepsilon. Assim |b_{n}-L| fica arbitrariamente pequena.
Passo 3
Lembrando e justificando fórmulas que vamos usar:
Propriedade do valor absoluto e desigualdade triangular: para quaisquer números reais x_{1},\dots,x_{n},
porque o numerador é fixo e o denominador n cresce sem limite.
Passo 4
Agora a prova formal com \varepsilon-N. Tome um \varepsilon>0 arbitrário. Como \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n}=L, existe um índice N\in\mathbb{N} tal que
\left|a_{k}-L\right|<\varepsilon\quad\text{para todo }k\ge N.
(Isto é a definição de limite: a partir de algum índice todos os termos estão dentro de \varepsilon de L.)
Passo 5
Para n\ge N escrevemos a soma \sum_{k=1}^{n}\left|a_{k}-L\right| separando os primeiros N-1 termos e os restantes: