Q2. Seja \left(a_{n}\right) uma sequência convergente com \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=L. Defina a sequência das médias dos n primeiros termos: b_{n}=\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}. Mostre que a sequência \left(b_{n}\right) converge. Determine o valor de \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}.
RESPOSTA:

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
  • Informação: (a_{n}) é uma sequência convergente com \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n}=L.
  • Informação: Definimos a sequência das médias dos primeiros n termos por \displaystyle b_{n}=\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}.
  • Pergunta: Mostrar que a sequência \left(b_{n}\right) converge.
  • Pergunta: Determinar o valor de \displaystyle \lim_{n\to\infty} b_{n}.

Passo 2

Ideia geral que vamos usar (só ideia, sem formalizar ainda):
Queremos provar que \,b_{n}\to L. Uma maneira clássica é usar um argumento \varepsilon- N: para dado \varepsilon>0 escolhemos N tal que todos os termos a_{k} com k\ge N ficam a menos de \varepsilon de L. Depois escrevemos a média \,b_{n}-L como soma de duas partes: a soma dos poucos termos iniciais (fixos, em número) e a soma dos termos a partir de N (muitos, mas cada um perto de L). Mostramos que a contribuição da parte inicial fica pequena porque é um número fixo dividido por n (vai a zero quando n\to\infty), e a contribuição da parte restante é controlada por \varepsilon. Assim |b_{n}-L| fica arbitrariamente pequena.

Passo 3

Lembrando e justificando fórmulas que vamos usar:
  • Propriedade do valor absoluto e desigualdade triangular: para quaisquer números reais x_{1},\dots,x_{n},
\left|x_{1}+\cdots+x_{n}\right|\le |x_{1}|+\cdots+|x_{n}|.
  • Linearidade da média: para \displaystyle b_{n}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} a_{k},
b_{n}-L=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}(a_{k}-L).
  • Usaremos a desigualdade triangular para obter
\left|b_{n}-L\right|=\left|\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}(a_{k}-L)\right| \le \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left|a_{k}-L\right|.
  • Observação útil: se c_{1},\dots,c_{m} são constantes (fixos), então
\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{m}c_{k}\longrightarrow 0\quad\text{quando }n\to\infty,
porque o numerador é fixo e o denominador n cresce sem limite.

Passo 4

Agora a prova formal com \varepsilon- N. Tome um \varepsilon>0 arbitrário. Como \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n}=L, existe um índice N\in\mathbb{N} tal que
\left|a_{k}-L\right|<\varepsilon\quad\text{para todo }k\ge N.
(Isto é a definição de limite: a partir de algum índice todos os termos estão dentro de \varepsilon de L.)

Passo 5

Para n\ge N escrevemos a soma \sum_{k=1}^{n}\left|a_{k}-L\right| separando os primeiros N-1 termos e os restantes:
\sum_{k=1}^{n}\left|a_{k}-L\right| = \sum_{k=1}^{N-1}\left|a_{k}-L\right|+\sum_{k=N}^{n}\left|a_{k}-L\right|.
Dividindo por n e usando a estimativa do Passo 3, obtemos
\left|b_{n}-L\right| \le \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{N-1}\left|a_{k}-L\right|+\frac{1}{n}\sum_{k=N}^{n}\left|a_{k}-L\right|.

Passo 6

Estimamos as duas parcelas da direita:
  1. A segunda parcela: para k\ge N temos \left|a_{k}-L\right|<\varepsilon, e há exatamente n-N+1 índices entre N e n. Logo
\frac{1}{n}\sum_{k=N}^{n}\left|a_{k}-L\right| < \frac{1}{n}\cdot (n-N+1)\varepsilon \le \varepsilon.
(Usamos que \dfrac{n-N+1}{n}\le 1.)
  1. A primeira parcela: defina a constante
S:=\sum_{k=1}^{N-1}\left|a_{k}-L\right|.
Note que S é um número fixo (dependente de N mas não de n). Então
\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{N-1}\left|a_{k}-L\right| = \frac{S}{n}.
Pelo comentário do Passo 3, \dfrac{S}{n}\to 0 quando n\to\infty. Portanto existe um n_{0} tal que para todo n\ge n_{0} temos \dfrac{S}{n}<\varepsilon.

Passo 7

Juntando as duas estimativas do Passo 6: para todo n\ge \max\{N,n_{0}\} temos
\left|b_{n}-L\right| \le \frac{S}{n}+\varepsilon < \varepsilon+\varepsilon=2\varepsilon.
Como \varepsilon>0 foi escolhido arbitrariamente, isto mostra que \left|b_{n}-L\right|\to 0, ou seja,
\lim_{n\to\infty} b_{n}=L.
Isso conclui a prova de que a sequência \left(b_{n}\right) converge e que seu limite é L.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty} b_{n}=L

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