Faça o mapa de contorno (curvas de nível) das funções abaixo.
f(x, y)=x-ln y.

Passo 1

O enunciado pede o mapa de contorno (curvas de nível) da função f(x,y)=x-ln y. O tópico é curvas de nível e vamos precisar montar a equação f(x,y)=C para constantes C e depois entender como elas se comportam no plano.

Passo 2

Para encontrar as curvas de nível, igualamos f(x,y) a uma constante C. Assim temos:
x - ln y = C
Essa equação implica
ln y = x - C
e, aplicando a exponencial em ambos os lados, obtemos
y = e^x - C = e^-C,e^x

Passo 3

Então cada curva de nível é uma exponencial no plano (x,y). A constante C só muda o fator multiplicativo e^-C, que desloca verticalmente a curva de forma log‐linear.

Passo 4

Como exemplo prático, podemos escolher valores típicos de C, por exemplo C=-2,-1,0,1,2. Para cada um deles a curva é
y = e^x - (-2) = e^2 e^x, y = e^1 e^x, y = e^0 e^x = e^x, y = e^-1e^x, y = e^-2e^x
No plano, todas as curvas têm formato de exponencial crescente à medida que x cresce, e para constantes C maiores elas ficam mais “baixas” (pois o fator e^-C é menor). O domínio é y>0, então não há curvas para y<=0.

Resposta

As curvas de nível são dadas pela família
x - ln y = C,
ou seja
y = e^x - C,
com Cin R. Exemplos: para C=-2,-1,0,1,2 temos as exponenciais y=e^x+2,e^x+1,e^x,e^x-1,e^x-2. Todas estão no domínio y>0 e são deslocamentos log‐lineares umas das outras.

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