Resolva a equação diferencial: e^{y^{2}}(x-2) \frac{d y}{d x}=\frac{x+3}{y}.

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial de primeira ordem
e^{y^2}\,(x-2)\,\frac{dy}{dx} = \frac{x+3}{y}.
Note que é uma equação separável: podemos agrupar todos os termos que envolvem y de um lado e todos os que envolvem x do outro, e depois integrar cada lado.

Passo 2

Primeiro, isolamos \frac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx} = \frac{x+3}{y\,e^{y^2}\,(x-2)}.

Passo 3

Agora separamos as variáveis, multiplicando em cruz por y\,e^{y^2}\,dx e dividindo por (x-2):
y\,e^{y^2}\,dy = \frac{x+3}{x-2}\,dx.

Passo 4

Integramos ambos os lados.
Do lado esquerdo usamos a substituição u = y^2, logo du = 2y\,dy, e
\int y\,e^{y^2}\,dy = \frac12 \int e^u\,du = \frac12 e^u = \frac12 e^{y^2}.
Do lado direito escrevemos
\frac{x+3}{x-2} = 1 + \frac{5}{x-2}
pois x+3=(x-2)+5. Então
\int \frac{x+3}{x-2}\,dx = \int 1\,dx + 5\int \frac{1}{x-2}\,dx = x + 5\ln\lvert x-2\rvert.

Passo 5

Igualando as duas integrais e incluindo a constante de integração C, fica
\frac12 e^{y^2} = x + 5\ln\lvert x-2\rvert + C.

Passo 6

Multiplicando por 2 e reunindo a constante em C' = 2C, obtemos a forma implícita da solução geral:
e^{y^2} = 2x + 10\ln\lvert x-2\rvert + C'.
Se quiser expressar y de modo explícito,
y = \pm\sqrt{\ln\bigl(2x + 10\ln\lvert x-2\rvert + C'\bigr)}.

Resposta

e^{y^2} = 2x + 10\ln\lvert x-2\rvert + C',
com C' constante arbitrária.

Exercícios relacionados