Faça o mapa de contorno da função a seguir, mostrando várias curvas de nível.
Passo 1
O enunciado pede o mapa de contorno (curvas de nível) da função f(x,y)=(y−5x)². O conteúdo aqui é curvas de nível de funções de duas variáveis: para cada valor k≥0, a curva de nível é o conjunto de pontos (x,y) tais que f(x,y)=k.
Passo 2
Para encontrar as curvas de nível, igualamos f(x,y) a um valor constante k:
Passo 3
Essa equação implica que y−5x pode ser +√k ou −√k. Logo, as curvas de nível são duas famílias de retas paralelas:
e
Passo 4
Isolando y, obtemos para cada valor de k:
e
Passo 5
Para desenhar o mapa de contorno, escolhemos alguns valores de k (por exemplo k=0,1,4,9) e traçamos as retas:
- para k=0: y=5x,
- para k=1: y=5x±1,
- para k=4: y=5x±2,
- para k=9: y=5x±3,
etc.
No gráfico teremos várias retas paralelas à linha y=5x, deslocadas para cima e para baixo de uma distância √k. A cada valor de k corresponde um par de retas simétricas em relação a y=5x.
Resposta
As curvas de nível são as retas
y=5x±\sqrt{k} para cada k≥0. Por exemplo:
y=5x±\sqrt{k} para cada k≥0. Por exemplo:
- k=0: y=5x
- k=1: y=5x±1
- k=4: y=5x±2
- k=9: y=5x±3
No mapa de contorno, desenhe essas retas paralelas à reta y=5x, deslocadas de ±√k.