Faça o mapa de contorno da função a seguir, mostrando várias curvas de nível.
f(x, y)=(y-5 x)^2

Passo 1

O enunciado pede o mapa de contorno (curvas de nível) da função f(x,y)=(y−5x)². O conteúdo aqui é curvas de nível de funções de duas variáveis: para cada valor k≥0, a curva de nível é o conjunto de pontos (x,y) tais que f(x,y)=k.

Passo 2

Para encontrar as curvas de nível, igualamos f(x,y) a um valor constante k:
(y-5x)^2 = k

Passo 3

Essa equação implica que y−5x pode ser +√k ou −√k. Logo, as curvas de nível são duas famílias de retas paralelas:
y-5x = +raizk
e
y-5x = -raizk

Passo 4

Isolando y, obtemos para cada valor de k:
y = 5x + raizk
e
y = 5x - raizk

Passo 5

Para desenhar o mapa de contorno, escolhemos alguns valores de k (por exemplo k=0,1,4,9) e traçamos as retas:
  • para k=0: y=5x,
  • para k=1: y=5x±1,
  • para k=4: y=5x±2,
  • para k=9: y=5x±3,
    etc.
    No gráfico teremos várias retas paralelas à linha y=5x, deslocadas para cima e para baixo de uma distância √k. A cada valor de k corresponde um par de retas simétricas em relação a y=5x.

Resposta

As curvas de nível são as retas
y=5x±\sqrt{k} para cada k≥0. Por exemplo:
  • k=0: y=5x
  • k=1: y=5x±1
  • k=4: y=5x±2
  • k=9: y=5x±3
No mapa de contorno, desenhe essas retas paralelas à reta y=5x, deslocadas de ±√k.

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