Faça o mapa de contornos da função mostrando várias curvas de nível.
z=x^2x^2+y^2

Passo 1

A questão pede o mapa de contornos (curvas de nível) da função z=x^2x^2+y^2. O conteúdo é curvas de nível e vamos precisar usar a definição x^2x^2+y^2=k para diferentes constantes k.

Passo 2

Para encontrar a equação das curvas de nível, fixamos z=k. Assim, temos:
x^2x^2+y^2=k
e queremos escrever isso como relação entre x e y.
Multiplicando ambos os lados por x^2+y^2 e reorganizando, obtemos:
x^2 = k(x^2+y^2) implies x^2 - kx^2 = ky^2 implies (1-k)x^2 = ky^2
que nos dá
y^2x^2 = 1-kk

Passo 3

Tirando raiz de ambos os lados, as curvas de nível para 0 são retas que passam pela origem:
y = pm xraiz1-kk

Passo 4

Agora analisamos casos especiais:
  • Para k=0: da equação x^2/(x^2+y^2)=0 vem x=0, ou seja, o eixo y.
  • Para k=1: da equação x^2/(x^2+y^2)=1 vem y=0, ou seja, o eixo x.

Passo 5

Com isso, podemos desenhar o mapa de contornos: para cada valor de kin(0,1) as curvas são pares de retas de inclinação pmraiz(1-k)/k, além dos eixos para k=0 e k=1.

Resposta

As curvas de nível z=k são:
Para 0<k<1:
y = pm xraiz1-kk
Para k=0: x=0 (eixo y).
Para k=1: y=0 (eixo x).

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