Faça o mapa de contornos da função mostrando várias curvas de nível.
Passo 1
A questão pede o mapa de contornos (curvas de nível) da função
. O conteúdo é curvas de nível e vamos precisar usar a definição
para diferentes constantes
.
Passo 2
Para encontrar a equação das curvas de nível, fixamos
. Assim, temos:
e queremos escrever isso como relação entre
e
.
Multiplicando ambos os lados por e reorganizando, obtemos:
Multiplicando ambos os lados por
que nos dá
Passo 3
Tirando raiz de ambos os lados, as curvas de nível para
são retas que passam pela origem:
Passo 4
Agora analisamos casos especiais:
- Para
: da equação vem , ou seja, o eixo . - Para
: da equação vem , ou seja, o eixo .
Passo 5
Com isso, podemos desenhar o mapa de contornos: para cada valor de
as curvas são pares de retas de inclinação
, além dos eixos para
e
.
Resposta
As curvas de nível
são:
Para 0<k<1:
Para k=0: x=0 (eixo y).
Para k=1: y=0 (eixo x).
Para k=1: y=0 (eixo x).