Faça o mapa de contornos da função mostrando várias curvas de nível.
z=x yx^2+y^2

Passo 1

A questão pede o mapa de contornos (curvas de nível) da função z=xyx^2+y^2. Vamos fixar z=c e achar a equação das curvas que satisfazem essa condição.

Passo 2

Para traçar as curvas de nível, substituímos z=c:
xyx^2+y^2=c
Multiplicando ambos os lados por x^2+y^2, obtemos
c,x^2-xy+c,y^2=0 .

Passo 3

Para simplificar a análise, introduzimos t=yx (supondo xneq0). Então y=tx e a equação vira
c,x^2 - x,(t x) + c,(t x)^2 = x^2l(c - t + c t^2r) =0
Logo precisamos de
c t^2 - t + c = 0

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática em t pelas fórmulas de Bhaskara, temos
t = 1 pm raiz1 - 4c^22c
Essas são as inclinações das retas que formam cada curva de nível.

Passo 5

Para existir solução real, o discriminante deve ser não-negativo:
1 - 4c^2 >= 0 Longrightarrow |c| <= tfrac12
Assim, só há curvas de nível reais quando cin[-tfrac12,tfrac12]. Para |c|>tfrac12 não existem curvas reais.

Passo 6

No caso particular c=0 a equação original vira xy=0, ou seja, as linhas x=0 e y=0. Para c=pmtfrac12 o discriminante se anula e as duas retas coincidem em y=pm x. Para valores intermediários de c traçamos duas retas pelo origem com declives dados por
m1,2(c)=1pmraiz1-4c^22c

Resposta

As curvas de nível de z=xy/(x^2+y^2) são, para cada cin[-1/2,1/2], as duas retas que passam pela origem com inclinações
y = m1,2(c),x, m1,2(c)=1pmraiz1-4c^22c
Em especial, para c=0 temos os eixos x=0 e y=0, e para c=pm1/2 a reta y=pm x.

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