Faça o mapa de contornos da função mostrando várias curvas de nível.
Passo 1
A questão pede o mapa de contornos (curvas de nível) da função
. Vamos fixar
e achar a equação das curvas que satisfazem essa condição.
Passo 2
Para traçar as curvas de nível, substituímos
:
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos
Passo 3
Para simplificar a análise, introduzimos
(supondo
). Então
e a equação vira
Logo precisamos de
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática em
pelas fórmulas de Bhaskara, temos
Essas são as inclinações das retas que formam cada curva de nível.
Passo 5
Para existir solução real, o discriminante deve ser não-negativo:
Assim, só há curvas de nível reais quando
. Para
não existem curvas reais.
Passo 6
No caso particular
a equação original vira
, ou seja, as linhas
e
. Para
o discriminante se anula e as duas retas coincidem em
. Para valores intermediários de
traçamos duas retas pelo origem com declives dados por
Resposta
As curvas de nível de
são, para cada
, as duas retas que passam pela origem com inclinações
Em especial, para
temos os eixos
e
, e para
a reta
.