Faça o mapa de contornos da função mostrando várias curvas de nível.
Passo 1
O enunciado pede o mapa de contornos (curvas de nível) da função z=3x²–4xy+y², ou seja, devemos esboçar no plano xy as curvas definidas por 3x²–4xy+y²=c para vários valores de c. Isso envolve estudar uma forma quadrática e entender que tipo de cônicas aparecem.
Passo 2
Para classificar cada curva de nível note que ela vem da equação 3x²–4xy+y²=c, isto é, uma conica geral Ax²+Bxy+Cy²=constante com A=3, B=–4, C=1. O discriminante é Δ=B²–4AC=(–4)²–4·3·1=16–12=4>0, logo para c≠0 são hipérboles, e para c=0 temos um par de retas (caso degenerado).
Passo 3
As assíntotas dessas hipérboles vêm de 3x²–4xy+y²=0. Dividindo por x² (x≠0) e chamando m=y/x obtemos m²–4m+3=0, com raízes m=1 e m=3. Portanto as retas são y=x e y=3x.
Passo 4
Para ver o formato de cada hipérbole, basta escolher alguns valores de c. Por exemplo, para c=1, –1, 2, –2 temos as equações:
Passo 5
No esboço, primeiro trace as retas y=x e y=3x como guias. Em seguida, para c>0 desenhe as hipérboles que se abrem em volta da reta y=x (ramificações aproximadas entre as assíntotas), e para c<0 desenhe as hipérboles que se abrem junto à reta y=3x. Quanto maior |c|, mais “afastada” do centro estará a curva.
Passo 6
O mapa de contornos fica então com várias hipérboles concêntricas (no sentido de nível) centradas na origem, assíntotas fixas y=x e y=3x, e curvas para c=…,–2,–1,0,1,2,… mostrando onde a função atinge cada valor de z.
Resposta
As curvas de nível são as cônicas 3x²–4xy+y²=c, que para c≠0 são hipérboles com assíntotas y=x e y=3x, e para c=0 degeneram no par de retas y=x e y=3x. Para montar o mapa de contornos basta desenhar, no plano xy, as hipérboles correspondentes a vários valores de c (por exemplo c=–2,–1,0,1,2) seguindo a orientação e as assíntotas indicadas.