Faça o mapa de curvas de nível das seguintes funções.
f(x, y)=3 x^2+y

Passo 1

Temos a função f(x,y)=3x²+y e o objetivo é construir o mapa de curvas de nível, isto é, traçar no plano (x,y) as curvas onde f(x,y)=C, para diferentes constantes C. Esse conteúdo faz parte da análise de funções de duas variáveis e requer usar a definição de curva de nível.

Passo 2

Começamos igualando f(x,y) a uma constante C:
3x^2+y=C

Passo 3

Em seguida isolamos y em função de x e de C:
y=C-3x^2

Passo 4

Isso mostra que, para cada valor de C, a curva de nível é uma parábola de concavidade para baixo, com vértice em (0,C).

Passo 5

Para ilustrar o mapa, escolhemos alguns valores de C (por exemplo C=-2,-1,0,1,2) e desenhamos as parábolas correspondentes:
y=-2-3x^2, y=-1-3x^2, y=0-3x^2, y=1-3x^2, y=2-3x^2

Passo 6

No plano (x,y), essas parábolas aparecem deslocadas verticalmente e igualmente espaçadas conforme a diferença entre os valores de C.

Resposta

As curvas de nível de f(x,y)=3x²+y são dadas pela família
(x,y)inR^2:y=C-3x^2,;CinR

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