Represente graficamente as seguintes funções.
Passo 1
Temos a função f(x,y)=9−x²−6y. O objetivo é esboçar seu gráfico 3D. Para isso, vamos usar curvas de nível e seções transversais, lembrando que estamos lidando com uma superfície em ℝ³ definida por z=f(x,y).
Passo 2
Curvas de nível: impomos f(x,y)=k. Então
isola-se y:
Passo 3
Cada k dá uma parábola no plano xy, de concavidade voltada para baixo no eixo x. Por exemplo, para k=9,5,1 temos vértices em (0,(9−k)/6).
Passo 4
Seções y=const: fixando y=y₀,
Passo 5
É uma parábola no plano xz, aberta para baixo, com vértice em (x=0,y=y₀,z=9−6y₀). À medida que y₀ cresce, a parábola desloca-se para baixo.
Passo 6
Seções x=const: fixando x=x₀,
Passo 7
É uma reta no plano yz, de declive −6 e intercepto em z=(9−x₀²) para y=0.
Com esses cortes vemos que a superfície é um cilindro parabólico: a parábola z=9−x² (plano y=0) vai sendo traduzida no eixo y de forma inclinada (declive em y). No espaço, isso forma uma ‘parede’ parabólica que cai à medida que y aumenta.
Com esses cortes vemos que a superfície é um cilindro parabólico: a parábola z=9−x² (plano y=0) vai sendo traduzida no eixo y de forma inclinada (declive em y). No espaço, isso forma uma ‘parede’ parabólica que cai à medida que y aumenta.
Resposta
A superfície é um cilindro parabólico obtido pela translação da parábola z=9−x² ao longo do eixo y com inclinação −6. As curvas de nível no plano xy são parábolas y=(9−k−x²)/6 e as seções y=const mostram parábolas no plano xz deslocando-se para baixo conforme y cresce. No 3D o esboço aparece como uma “parede” parabólica que decresce linearmente em y.