Represente graficamente as seguintes funções.
f(x, y)=9-x^2-6 y

Passo 1

Temos a função f(x,y)=9−x²−6y. O objetivo é esboçar seu gráfico 3D. Para isso, vamos usar curvas de nível e seções transversais, lembrando que estamos lidando com uma superfície em ℝ³ definida por z=f(x,y).

Passo 2

Curvas de nível: impomos f(x,y)=k. Então
9−x^2−6y=k
isola-se y:
6y=9−k−x^2
y=9−k6−x^26

Passo 3

Cada k dá uma parábola no plano xy, de concavidade voltada para baixo no eixo x. Por exemplo, para k=9,5,1 temos vértices em (0,(9−k)/6).

Passo 4

Seções y=const: fixando y=y₀,
z=f(x,y₀)=9−x^2−6y₀=(9−6y₀)−x^2

Passo 5

É uma parábola no plano xz, aberta para baixo, com vértice em (x=0,y=y₀,z=9−6y₀). À medida que y₀ cresce, a parábola desloca-se para baixo.

Passo 6

Seções x=const: fixando x=x₀,
z=f(x₀,y)=9−x₀^2−6y

Passo 7

É uma reta no plano yz, de declive −6 e intercepto em z=(9−x₀²) para y=0.
Com esses cortes vemos que a superfície é um cilindro parabólico: a parábola z=9−x² (plano y=0) vai sendo traduzida no eixo y de forma inclinada (declive em y). No espaço, isso forma uma ‘parede’ parabólica que cai à medida que y aumenta.

Resposta

A superfície é um cilindro parabólico obtido pela translação da parábola z=9−x² ao longo do eixo y com inclinação −6. As curvas de nível no plano xy são parábolas y=(9−k−x²)/6 e as seções y=const mostram parábolas no plano xz deslocando-se para baixo conforme y cresce. No 3D o esboço aparece como uma “parede” parabólica que decresce linearmente em y.

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