Seja
, um anel qualquer. Vamos definir potência de um elemento
(usando a associatividade do produto) do seguinte modo:
Prove as seguintes propriedades
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre anéis, que são estruturas matemáticas com duas operações, geralmente soma e multiplicação. A gente precisa provar uma propriedade envolvendo potências de um elemento dentro de um anel. Para isso, vamos usar a definição de potência e propriedades básicas da matemática, como a associatividade da multiplicação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa $ x^m $. Segundo a definição dada, $ x^1 = x $, $ x^2 = x \cdot x $, e assim por diante, até $ x^n = x^{n-1} \cdot x $. Ou seja, estamos multiplicando o elemento $ x $ por ele mesmo $ m $ vezes para obter $ x^m $.
Passo 3
Agora, queremos encontrar $ (xm)n $. Segundo a definição, isso significa que vamos multiplicar $ x^m $ por ele mesmo $ n $ vezes:
Passo 4
Sabemos que no anel $ A $, a multiplicação é associativa. Isso significa que não importa como agrupamos os elementos ao multiplicar, o resultado será o mesmo. Então, podemos reorganizar a multiplicação de $ x^m $ da seguinte maneira:
Aqui, estamos somando $ m $ $ n $ vezes, o que dá $ m \cdot n $.
Passo 5
Então, temos que:
Isso mostra que elevar $ x^m $ a uma potência $ n $ é o mesmo que elevar $ x $ a potência $ m $ vezes $ n $.
Resposta
Portanto, provamos que para todo $ m, n \in \mathbb{N}-{0} $,