Seja A,+, um anel qualquer. Vamos definir potência de um elemento x in A (usando a associatividade do produto) do seguinte modo:
x^1=x, x^2=x cdot x, ldots, x^n=x^n-1 cdot x, n >= 2
Prove as seguintes propriedades forall m, n in N-0
(x^m)^n=x^m cdot n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre anéis, que são estruturas matemáticas com duas operações, geralmente soma e multiplicação. A gente precisa provar uma propriedade envolvendo potências de um elemento dentro de um anel. Para isso, vamos usar a definição de potência e propriedades básicas da matemática, como a associatividade da multiplicação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa $ x^m $. Segundo a definição dada, $ x^1 = x $, $ x^2 = x \cdot x $, e assim por diante, até $ x^n = x^{n-1} \cdot x $. Ou seja, estamos multiplicando o elemento $ x $ por ele mesmo $ m $ vezes para obter $ x^m $.

Passo 3

Agora, queremos encontrar $ (xm)n $. Segundo a definição, isso significa que vamos multiplicar $ x^m $ por ele mesmo $ n $ vezes:
(x^m)^n

Passo 4

Sabemos que no anel $ A $, a multiplicação é associativa. Isso significa que não importa como agrupamos os elementos ao multiplicar, o resultado será o mesmo. Então, podemos reorganizar a multiplicação de $ x^m $ da seguinte maneira:
A
Aqui, estamos somando $ m $ $ n $ vezes, o que dá $ m \cdot n $.

Passo 5

Então, temos que:
(x^m)^n = x^m cdot n
Isso mostra que elevar $ x^m $ a uma potência $ n $ é o mesmo que elevar $ x $ a potência $ m $ vezes $ n $.

Resposta

Portanto, provamos que para todo $ m, n \in \mathbb{N}-{0} $,
m, n in N-0

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