Questão 3 (3 pt) Encontre um potencial phi(x, y, z) para o campo vetorial conservativo abaixo
V=(y z+3 y-1) i+(x z+3 x-2 z) j+(x y-2 y+2 z) k
Responder

Passo 1

Estamos diante de um campo vetorial
V=(y z+3 y-1),i+(x z+3 x-2 z),j+(x y-2 y+2 z),k
e queremos encontrar uma função escalar phi(x,y,z) tal que
nablaphi = V
Como V é conservativo, basta integrar cada componente parcial de phi.

Passo 2

Do fato de partial phipartial x=y z+3y-1, integramos em relação a x:
phi(x,y,z) =integral (y z+3y-1),dx =x,(y z+3y-1)+h(y,z),
onde h(y,z) é uma “constante” de integração que pode depender de y e z.

Passo 3

Impondo agora
partial phipartial y =xz+3x-2z,
calculamos a derivada de phi em relação a y:
partialpartial yl[x(yz+3y-1)+h(y,z)r] =xz+3x + partial hpartial y
Como isso deve ser igual a xz+3x-2z, tem-se
partial hpartial y=-2z
Integramos em y:
h(y,z)=-2yz+g(z),
com g(z) função de z apenas.

Passo 4

Por fim, exigimos
partial phipartial z =xy-2y+2z
Derivando a expressão atual de phi:
phi =xyz+3xy - x -2yz + g(z),
obtemos
partial phipartial z =xy - 2y + g'(z)
Comparando com xy-2y+2z leva a
g'(z)=2z Longrightarrow g(z)=z^2 + C,
onde C é constante.

Passo 5

Reunindo tudo, podemos escolher C=0 (qualquer constante soma-se ao potencial sem alterar nablaphi). Logo
phi(x,y,z) =xyz+3xy - x -2yz + z^2 + C
é um potencial para V.

Resposta

phi(x,y,z)=xyz+3xy - x -2yz + z^2 + C,
com C constante arbitrária.

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