Faça a mudança de variáveis v=y / t e resolva as EDOs abaixo:
y^prime=2 t^2+5 y^22 t y

Passo 1

O enunciado pede resolver a EDO
y' = 2,t^2 + 5,y^22,t,y
usando a mudança de variáveis v = y/t. Este tipo de equação é homogênea e se reduz a uma equação de variáveis separáveis ao escrever y = v,t.

Passo 2

Escrevendo y = v,t, obtemos
y' = v + t,v'

Passo 3

Substituindo em
v + t,v' = 2,t^2 + 5,(v,t)^22,t,(v,t) = 2+5v^22v,
isolamos v':
t,v' = 2+5v^22v - v = 2+3v^22v,
portanto
v' = 2+3v^22v,t

Passo 4

Separamos as variáveis:
2v2+3v^2,dv = dtt,
e integramos:
integral 2v2+3v^2,dv = integral dtt Longrightarrow 13lnl(2+3v^2r) = ln|t| + C
Elevando exponencialmente, obtemos
2 + 3v^2 = C1,t^3

Passo 5

Voltando a y por v = y/t, a solução geral fica
2 + 3l(ytr)^2 = C1,t^3 Longrightarrow y^2 = C1,t^5 - 2,t^23,
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y(t) = pm raizC1,t^5 - 2,t^23

Resposta

2 + 3l(ytr)^2 = C,t^3,
ou equivalentemente
y(t) = pm raizC,t^5 - 2,t^23,
onde C é constante de integração.

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