Verificar que o ponto (0,0) é ponto crítico das funções:
f(x, y)=raiz2 x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que (0,0) é ponto crítico de
f(x,y)=raiz2x^2+y^2
Para isso vamos usar o conceito de ponto crítico: são os pontos onde o gradiente de f é nulo ou não existe.

Passo 2

Defina g(x,y)=2x^2+y^2, de modo que f(x,y)=raizg(x,y). As derivadas parciais em (x,y)neq(0,0) vêm de
partial fpartial x =12raizg(x,y)cdotpartial gpartial x =12raiz2x^2+y^2cdot(4x) =2xraiz2x^2+y^2,
partial fpartial y =12raizg(x,y)cdotpartial gpartial y =12raiz2x^2+y^2cdot(2y) =yraiz2x^2+y^2

Passo 3

Em (0,0) temos g(0,0)=0, então os denominadores raiz2x^2+y^2 tornam-se zero e as derivadas parciais não estão definidas nesse ponto. Logo nabla f(0,0) não existe.

Passo 4

Por definição, todo ponto em que o gradiente é nulo ou não existe é ponto crítico. Como em (0,0) as derivadas parciais não existem, concluímos que (0,0) é de fato um ponto crítico de f.

Resposta

O ponto (0,0) é ponto crítico de f(x,y)=raiz2x^2+y^2 porque ali o gradiente não existe.

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