Verificar que o ponto (0,0) é ponto crítico das funções:
f(x, y)=x^2-y^2

Passo 1

O enunciado nos dá a função fcolonR^2toR definida por
f(x,y)=x^2-y^2
e pede para verificar que o ponto (0,0) é ponto crítico. Lembrando que (x0,y0) é ponto crítico se o gradiente de f se anula em (x0,y0), isto é,
nabla f(x0,y0)=l(tfracpartial fpartial x(x0,y0),,tfracpartial fpartial y(x0,y0)r)=(0,0)
Portanto, precisamos calcular tfracpartial fpartial x e tfracpartial fpartial y e avaliar em (0,0).

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f. Na derivada parcial em x tratamos y como constante, e na de y tratamos x como constante.
partial fpartial x(x,y)=2x
partial fpartial y(x,y)=-2y

Passo 3

Avaliar as derivadas parciais em (0,0):
partial fpartial x(0,0)=2cdot0=0
partial fpartial y(0,0)=-2cdot0=0
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nabla f(0,0)=(0,0),
o que mostra que as derivadas parciais se anulam em (0,0).

Resposta

O ponto (0,0) é ponto crítico de f(x,y)=x^2-y^2 porque nabla f(0,0)=(0,0).

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