Faça a mudança de variáveis v=y / t e resolva as EDOs abaixo:
y^prime=3 y+t3 t+y

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem
dydt = 3y + t3t + y
reconhecendo que o membro direito é homogêneo de grau zero (numerador e denominador são lineares em y e t). O método padrão é usar a mudança de variável
v = yt,
transformando a EDO em uma equação separável em v e t.

Passo 2

Definimos
v = yt Longrightarrow y = v,t
Derivando em relação a t:
dydt = v + t,dvdt
Substituindo na EDO original:
v + t,dvdt = 3y + t3t + y = 3(vt) + t3t + (vt) = 3v + 13 + v

Passo 3

Isolamos dvdt:
t,dvdt = 3v + 13 + v - v = 3v + 1 - v(3+v)3+v = 1 - v^23 + v

Passo 4

Separamos variáveis:
3 + v1 - v^2,dv = dtt
Para integrar, fazemos a decomposição em frações parciais:
3 + v1 - v^2 = A1 - v + B1 + v,
onde da comparação de coeficientes vem A=2 e B=1. Logo
integrall(21 - v + 11 + vr),dv = integraldtt
-2lnl|1 - vr| + lnl|1 + vr| = lnl|tr| + C

Passo 5

Exponenciando e rearranjando:
ln|1 + v||1 - v|^2 = ln|t| + C Longrightarrow 1 + v(1 - v)^2 = C,t
Voltando a y = vt:
1 + ytl(1 - ytr)^2 = C,t Longrightarrow t + y(t - y)^2 = C,
onde absorvemos fatores de t na constante.

Resposta

A solução geral, em forma implícita, é
t + yl(t - yr)^2 = C,
com C constante arbitrária.

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