Questão 5. Mostre que
não é exata. Mas torna-se exata ao multiplicá-la por
. Encontre a solução que satisfaz
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede que mostremos que ela não é exata, mas que se torna exata ao multiplicá-la por
. Depois, requer a solução geral sujeita a
. Vamos tratar
checar exatidão, encontrar fator integrante
, resolver a equação exata e impor a condição inicial.
Passo 2
Checamos exatidão sem fator integrante.
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Multiplicamos toda a equação por
. Isso leva a
Agora
logo a equação é exata.
Passo 4
Como é exata, existe
Psi(t,y) tal que
Integramos em
t , tratando
y como constante:
Agora impomos
Assim a solução implícita é
Passo 5
Impondo
y(1)=1 , temos
Multiplicando por 3, a forma final da solução é