Questão 5. Mostre que
e^t^3+sin y+t3 cos y y^prime=0
não é exata. Mas torna-se exata ao multiplicá-la por t^2. Encontre a solução que satisfaz y(1)=1.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
e^t^3+sin y+tcos y3,y'=0
e pede que mostremos que ela não é exata, mas que se torna exata ao multiplicá-la por t^2. Depois, requer a solução geral sujeita a y(1)=1. Vamos tratar
M(t,y)=e^t^3+sin y, N(t,y)=tcos y3,
checar exatidão, encontrar fator integrante mu(t)=t^2, resolver a equação exata e impor a condição inicial.

Passo 2

Checamos exatidão sem fator integrante.
partial Mpartial y=cos y, partial Npartial t=cos y3
Como cos yneqcos y3, a equação não é exata.

Passo 3

Multiplicamos toda a equação por t^2. Isso leva a
t^2,M(t,y),dt + t^2,N(t,y),dy=0 ;Longrightarrow; underbrace(t^2e^t^3+t^2sin y)widetilde M,dt +underbracel(t^3cos y3r)widetilde N,dy =0
Agora
partial widetilde Mpartial y = t^2cos y, partial widetilde Npartial t =3t^2cos y3=t^2cos y,
logo a equação é exata.

Passo 4

Como é exata, existe Psi(t,y) tal que
partial Psipartial t =widetilde M =t^2e^t^3+t^2sin y
Integramos em t, tratando y como constante:
Psi(t,y) =integral t^2e^t^3,dt+integral t^2sin y,dt =13e^t^3+13t^3sin y + h(y)
Agora impomos
partial Psipartial y =widetilde N ;Longrightarrow; 13t^3cos y + h'(y) =t^3cos y3 ;Longrightarrow; h'(y)=0 ;Longrightarrow; h(y)=const
Assim a solução implícita é
Psi(t,y)=13e^t^3+13t^3sin y=C

Passo 5

Impondo y(1)=1, temos
13e^1^3+13cdot1^3sin(1)=C ;Longrightarrow; C=e+sin13
Multiplicando por 3, a forma final da solução é
e^t^3+t^3sin y = e+sin1

Resposta

e^t^3+t^3sin y = e+sin1

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