Faça uma mudança de variável para calcular a integral indefinida.
(g) integral 2 x(1-x)^7 d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral indefinida integral 2x(1-x)^7,dx. O conteúdo principal aqui é mudança de variável (substituição) para lidar com potências de uma função afim em x.

Passo 2

Escolhemos a substituição u = 1 - x. Daí temos du = -dx, ou seja, dx = -du, e também x = 1 - u para reescrever o numerador.

Passo 3

Substituímos na integral original. O numerador 2x,dx vira -2(1-u),du e o denominador (1-x)^7 vira u^7. Assim:
integral 2x(1-x)^7,dx = integral -2(1-u)u^7,du = integrall(-2u^-7 + 2u^-6r),du

Passo 4

Agora integramos termo a termo usando integral u^n,du = u^n+1n+1:
integral(-2u^-7),du = -2cdotu^-6-6 = 13u^-6, integral(2u^-6),du = 2cdotu^-5-5 = -25u^-5
Somando, fica 13u^-6 - 25u^-5 + C.

Passo 5

Por fim, voltamos à variável x substituindo u = 1 - x. A antiderivada final é
13(1-x)^6 - 25(1-x)^5 + C

Resposta

13(1-x)^6 - 25(1-x)^5 + C

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