Faça uma mudança de variável para calcular a integral indefinida.
(j) integral x2 cos 4 x^2 d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral indefinida integral x2cos(4x^2),dx usando mudança de variável (integração por substituição).

Passo 2

Observamos que o argumento do cosseno é 4x^2, então definimos a substituição u = 4x^2.
Derivando ambos os lados, temos du = 8x,dx. Assim, x,dx = tfracdu8 e portanto tfracx2,dx = tfrac12cdottfracdu8 = tfracdu16.

Passo 3

Substituindo em integral x2cos(4x^2),dx, a integral vira
116integral cos(u),du
Sabendo que integral cos(u),du = sin(u) + C, obtemos
116sin(u) + C

Passo 4

Voltando à variável original com u = 4x^2, a solução final é
116sin(4x^2) + C

Resposta

tfrac116sin(4x^2) + C

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