Faça a mudança de variável v=\frac{d y}{d x} para reduzir a ordem da EDO, e ache a relação entre v e y.
y y^{\prime \prime}=y^{2} y^{\prime}+\left(y^{\prime}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado dá a EDO de segunda ordem
y\,y'' = y^2\,y' + (y')^2
e pede para usar a mudança de variável
v = \frac{d y}{d x}
para reduzir a ordem. Para isso, vamos precisar da fórmula que expressa y'' em termos de v e de y, que é
y'' = \frac{dv}{dx} = \frac{dv}{dy}\,\frac{dy}{dx} = v\,\frac{dv}{dy}.

Passo 2

Substituímos y' = v e y'' = v\,\frac{dv}{dy} na EDO original:
y \,\Bigl(v\,\frac{dv}{dy}\Bigr) = y^2\,v + v^2.
Isso gera uma equação de primeira ordem para v(y):
y\,v\,\frac{dv}{dy} = v\,(y^2 + v).

Passo 3

Assumindo v\neq0, dividimos ambos os lados por v:
y\,\frac{dv}{dy} = y^2 + v.
Reescrevendo, obtemos a forma padrão de uma EDO linear em v:
\frac{dv}{dy} - \frac{1}{y}\,v = y.

Passo 4

Para resolver \displaystyle \frac{dv}{dy} - \frac{1}{y}v = y, usamos fator integrante
\mu(y) = \exp\Bigl(-\!\int \tfrac{1}{y}\,dy\Bigr) = y^{-1}.
Multiplicando a equação por y^{-1}
\frac{1}{y}\,\frac{dv}{dy} - \frac{1}{y^2}\,v = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dy}\Bigl(\frac{v}{y}\Bigr) = 1.

Passo 5

Integramos em y:
\frac{v}{y} = \int 1\,dy = y + C,
onde C é constante de integração. Logo
v = y\,(y + C) = y^2 + C\,y.

Resposta

v = \frac{dy}{dx} = y^2 + C\,y.

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