Faça a mudança de variável v=\frac{d y}{d x} para reduzir a ordem da EDO, e ache a relação entre v e y.
y y^{\prime \prime}=3\left(y^{\prime}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem
y\,y''=3\bigl(y'\bigr)^{2}
e pede para usar a substituição de ordem menor
v = \frac{dy}{dx}
de modo a obter uma relação entre v e y.

Passo 2

Aplicando v=\frac{dy}{dx} temos
y'' = \frac{dv}{dx}
e a EDO fica
y\,\frac{dv}{dx} = 3\,v^{2}.

Passo 3

Como \frac{dv}{dx} = \frac{dv}{dy}\,\frac{dy}{dx} = v\,\frac{dv}{dy}, substituímos na equação:
y\;v\;\frac{dv}{dy} = 3\,v^{2}.
Para v\neq0, simplificamos v em ambos os lados:
y\,\frac{dv}{dy} = 3\,v.

Passo 4

Esta é uma equação separável:
\frac{dv}{v} = 3\,\frac{dy}{y}.
Integramos:
\int \frac{dv}{v} = \int 3\,\frac{dy}{y} \quad\Longrightarrow\quad \ln\lvert v\rvert = 3\,\ln\lvert y\rvert + C.
Logo
\ln\!\Bigl\lvert\frac{v}{y^{3}}\Bigr\rvert = C \quad\Longrightarrow\quad \frac{v}{y^{3}} = K
onde K=e^{C} é constante de integração.

Resposta

v = K\,y^{3},
ou seja,
\frac{dy}{dx} = K\,y^{3}.

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