Determine uma curva
, de modo que
seja ortogonal a
, para os seguintes campos:
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
e pede uma curva
tal que o vetor velocidade
seja ortogonal a
.
Para isso vamos usar a condição de ortogonalidade entre vetores e transformar em uma equação diferencial que relaciona e
.
Para isso vamos usar a condição de ortogonalidade entre vetores e transformar em uma equação diferencial que relaciona
Passo 2
A ortogonalidade entre
e
é dada por
ou seja
Passo 3
Podemos ver isso como uma equação diferencial na forma
Dividindo tudo por
(supondo
) e por
, obtemos
Passo 4
Essa é uma equação separável. Escrevemos
e integramos ambos os lados:
Passo 5
Exponenciando, obtemos a família de curvas implícita
Chamando
(que pode absorver o sinal de
), fica
com
constante arbitrária.
Passo 6
Para dar uma parametrização explícita, basta escolher
Isso define
e é facilmente conferido que
.
Resposta
onde
é constante real.