Determine uma curva \gamma(t)=(x(t), y(t)), de modo que \gamma^{\prime}(t) seja ortogonal a \vec{F}(\gamma(t)), para os seguintes campos:
F(x, y)=3 x^{2} y^{2} \vec{i}+2 x^{3} y \vec{j}

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
\vec F(x,y) = 3x^2y^2\,\vec i \;+\;2x^3y\,\vec j
e pede uma curva \gamma(t)=(x(t),y(t)) tal que o vetor velocidade \gamma'(t) seja ortogonal a \vec F(\gamma(t)).
Para isso vamos usar a condição de ortogonalidade entre vetores e transformar em uma equação diferencial que relaciona y e x.

Passo 2

A ortogonalidade entre \gamma'(t)=(x'(t),y'(t)) e \vec F(x,y) é dada por
\gamma'(t)\cdot\vec F(\gamma(t)) = 0
ou seja
x'(t)\;3x^2y^2 \;+\; y'(t)\;2x^3y \;=\;0.

Passo 3

Podemos ver isso como uma equação diferencial na forma
3x^2y^2\,\frac{dx}{dt} \;+\;2x^3y\,\frac{dy}{dt} = 0.
Dividindo tudo por \frac{dx}{dt} (supondo x'(t)\neq0) e por 2x^3y, obtemos
\frac{dy}{dx} \;=\; -\frac{3x^2y^2}{2x^3y} \;=\; -\frac{3}{2}\,\frac{y}{x}.

Passo 4

Essa é uma equação separável. Escrevemos
\frac{dy}{y} \;=\; -\frac{3}{2}\,\frac{dx}{x}
e integramos ambos os lados:
\int \frac{1}{y}\,dy = -\frac{3}{2}\int \frac{1}{x}\,dx \;\Longrightarrow\; \ln|y| = -\frac{3}{2}\ln|x| + C.

Passo 5

Exponenciando, obtemos a família de curvas implícita
|y| = e^C\,|x|^{-3/2}.
Chamando K=e^C (que pode absorver o sinal de y), fica
y = K\,x^{-3/2},
com K constante arbitrária.

Passo 6

Para dar uma parametrização explícita, basta escolher
x(t)=t, \quad y(t)=K\,t^{-3/2}.
Isso define
\gamma(t) = \bigl(t,\;K\,t^{-3/2}\bigr),
e é facilmente conferido que \gamma'(t)\cdot\vec F(\gamma(t))=0.

Resposta

\gamma(t) = \bigl(t,\;K\,t^{-3/2}\bigr),
onde K é constante real.

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