Faça as mudanças de variável x1=y, x2=y^prime e x3=y^prime prime na EDO y^prime prime prime(t)-6 y^prime prime(t)+11 y^prime(t)-6 y(t)=0 para obter o sistema associado X^prime=A X.
Calcule o wronskiano w(y1, y2, y3) das soluções LI da EDO escalar.

Passo 1

O enunciado pede para transformar a EDO de terceira ordem y'''-6y''+11y'-6y=0 num sistema de primeira ordem usando x1=y, x2=y' e x3=y'', e depois calcular o wronskiano das três soluções linearmente independentes da EDO escalar.

Passo 2

Definimos
x1=y,
x2=y',
x3=y''
Logo
x1'=y'=x2,
x2'=y''=x3

Passo 3

Da EDO original temos
y'''-6y''+11y'-6y=0
Isolando y'''
y'''=6y''-11y'+6y
e portanto
x3'=6x3-11x2+6x1

Passo 4

Reunindo tudo em forma matricial X=(x1,x2,x3)^T, obtemos
X'=AX,
onde
A= 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 6 & -11 & 6

Passo 5

Para o wronskiano, primeiro achamos as soluções fundamentais da EDO escalar. A equação característica é
r^3-6r^2+11r-6=0
que fatora como (r-1)(r-2)(r-3)=0, dando raízes r=1,2,3. Assim
y1=e^t, y2=e^2t, y3=e^3t

Passo 6

O wronskiano é
$$
W(t)=
W(t)= y1 & y2 & y3 y1' & y2' & y3' y1'' & y2'' & y3'' = e^t & e^2t & e^3t e^t & 2e^2t & 3e^3t e^t & 4e^2t & 9e^3t

.
$$

Passo 7

Fatorando e^t,e^2t,e^3t em cada coluna, temos
W(t)=e^6t 1 & 1 & 1 1 & 2 & 3 1 & 4 & 9 =e^6tcdot2 =2e^6t

Resposta

O sistema associado é
X'=0 & 1 & 00 & 0 & 16 & -11 & 6X
e o wronskiano das soluções y1,y2,y3 é
w(y1,y2,y3)=2e^6t

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