Faça o que se pede.
(17 pontos) Encontre a equação geral e equações paramétricas do plano que passa pelos pontos A=(-3,1,0), B=(1,0,2) e C=(-1,1,3).

Passo 1

O enunciado pede a equação geral e as equações paramétricas do plano que passa pelos pontos
A=(-3,1,0), B=(1,0,2) e C=(-1,1,3).
O conteúdo é geometria analítica espacial: para achar o plano, precisamos de dois vetores diretores no plano e do vetor normal a ele.

Passo 2

Calcular dois vetores que pertencem ao plano, por exemplo
\overrightarrow{AB} = B - A = (1-(-3),\,0-1,\,2-0) = (4,\,-1,\,2),
\overrightarrow{AC} = C - A = (-1-(-3),\,1-1,\,3-0) = (2,\,0,\,3).

Passo 3

O vetor normal \mathbf{n} ao plano é dado pelo produto vetorial
\mathbf{n} \;=\;\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 4 & -1 & 2\\\\ 2 & 0 & 3 \end{vmatrix} =(-3,\,-8,\,2).

Passo 4

A equação geral do plano usa \mathbf{n}\cdot\bigl((x,y,z)-A\bigr)=0. Assim,
(-3,-8,2)\cdot(x+3,y-1,z)=0
-3(x+3)-8(y-1)+2z=0
-3x-9-8y+8+2z=0
-3x-8y+2z-1=0.
Multiplicando por -1, obtemos a forma habitual
3x+8y-2z+1=0.

Passo 5

Para as equações paramétricas, tomamos A como ponto de apoio e u,v como parâmetros ao longo de \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}:
\mathbf{r}(u,v)=(-3,1,0)+u\,(4,-1,2)+v\,(2,0,3).
Daí
x=-3+4u+2v,\quad y=1-u,\quad z=2u+3v.

Resposta

A equação geral do plano é
3x+8y-2z+1=0
e as equações paramétricas são
\begin{cases} x=-3+4u+2v,\\\ y=1-u,\\\ z=2u+3v. \end{cases}

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