Determine o raio de convergência das séries de potências abaixo:
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(x-5)^{2 n}}{64^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência de uma série de potências centrada em x=5. Vamos usar o fato de que a série é geométrica em (x-5)^{2}, de modo que podemos aplicar a condição de convergência |r|<1.

Passo 2

Escrevemos o termo geral da série como
a_n = \frac{(-1)^{n}(x-5)^{2n}}{64^{2}}.
Aqui o denominador 64^{2} é constante em n, de modo que a série fica na forma
\sum_{n=0}^\infty a_n = \frac{1}{64^{2}}\sum_{n=0}^\infty \bigl[-(x-5)^{2}\bigr]^{n}.

Passo 3

Identificamos a soma interior como uma série geométrica de razão
r = -(x-5)^{2}.

Passo 4

A série geométrica converge se, e somente se,
|r|<1.
Aplicando ao nosso r, obtemos
\bigl|-(x-5)^{2}\bigr|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad |x-5|^{2}<1 \quad\Longleftrightarrow\quad |x-5|<1.

Passo 5

Da condição |x-5|<1 concluímos que o raio de convergência é
R = 1.

Resposta

O raio de convergência da série é R=1.

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