Faça o que se pede.
(18 pontos) Considere a reta r de equações paramétricas: r:\left\{\begin{array}{l}x=-1+a t \\\ y=b t \\\ z=2+c t\end{array}, t \in \mathbb{R}\right..\n
Encontre valores para a, b e c, sabendo que o ponto A=(-3,1,0) pertence à reta r.
Passo 1
O enunciado dá a reta r\) em forma paramétrica
\[r:\begin{cases} x=-1+a\,t,\\\ y=b\,t,\\\ z=2+c\,t, \end{cases}\quad t\in\mathbb{R},
e pede valores de a,b,c\] tais que o ponto \(A=(-3,1,0) pertença a r. O conteúdo é reta em geometria analítica e vamos usar a condição de pertencimento: existe t que satisfaz as três equações simultaneamente.
Passo 2
Para A\in r deve existir t tal que
-1 + a\,t = -3,\quad b\,t = 1,\quad 2 + c\,t = 0.
Passo 3
Da segunda equação isolamos t:
b\,t = 1\quad\Longrightarrow\quad t = \frac{1}{b},
e notamos que é preciso b\neq 0, pois se b=0 não há como ter y=1.
Passo 4
Substituindo t=\tfrac{1}{b} nas outras duas equações:
- Na primeira:
-1 + a \cdot \frac{1}{b} = -3 \quad\Longrightarrow\quad \frac{a}{b} = -2 \quad\Longrightarrow\quad a = -2b.
- Na terceira:
2 + c \cdot \frac{1}{b} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{c}{b} = -2 \quad\Longrightarrow\quad c = -2b.
Passo 5
Concluímos que há infinitas soluções do tipo
a = -2b, \quad c = -2b, \quad b\neq 0.
Para dar um exemplo simples, escolhemos b=1, o que leva a