Faça o que se pede:
(b). Seja
. Calcule
, onde
é o versor de
(1,2);
(b). Seja
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada direcional da função $ f(x, y) = x^{2} + y^{2} $ no ponto (1,1) na direção do vetor $ \vec{v} = (1,2) $. Aqui, estamos trabalhando com cálculo multivariável, mais especificamente com derivadas direcionais. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o vetor unitário (versor) da direção dada e como encontrar a derivada direcional utilizando o gradiente da função.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o vetor unitário $ \vec{u} $ na direção de $ \vec{v} = (1,2) $. O vetor unitário é obtido dividindo cada componente do vetor $ \vec{v} $ pelo seu comprimento (ou norma). A fórmula para o vetor unitário é:
Vamos calcular a norma de $ \vec{v} $:
Então, o vetor unitário é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o gradiente da função $ f(x, y) = x^{2} + y^{2} $. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável. A fórmula do gradiente é:
Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente de $ f $ é:
Passo 4
Vamos agora avaliar o gradiente no ponto específico (1,1):
Passo 5
A derivada direcional $ \frac{\partial f}{\partial \vec{u}} $ é calculada como o produto escalar do gradiente da função no ponto dado pelo vetor unitário $ \vec{u} $. A fórmula é:
Vamos fazer o cálculo:
Podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por $ \sqrt{5} $:
Resposta
A derivada direcional $ \frac{\partial f}{\partial \vec{u}}(1,1) $ é $ \frac{6\sqrt{5}}{5} $.