Faça o que se pede:
(b). Seja f(x, y)=x^2+y^2. Calcule partial fpartial u(1,1), onde u é o versor de v= (1,2);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada direcional da função $ f(x, y) = x^{2} + y^{2} $ no ponto (1,1) na direção do vetor $ \vec{v} = (1,2) $. Aqui, estamos trabalhando com cálculo multivariável, mais especificamente com derivadas direcionais. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o vetor unitário (versor) da direção dada e como encontrar a derivada direcional utilizando o gradiente da função.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o vetor unitário $ \vec{u} $ na direção de $ \vec{v} = (1,2) $. O vetor unitário é obtido dividindo cada componente do vetor $ \vec{v} $ pelo seu comprimento (ou norma). A fórmula para o vetor unitário é:
u
Vamos calcular a norma de $ \vec{v} $:
v = (1,2)
Então, o vetor unitário é:
v

Passo 3

Agora, vamos encontrar o gradiente da função $ f(x, y) = x^{2} + y^{2} $. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável. A fórmula do gradiente é:
f(x, y) = x^2 + y^2
Calculando as derivadas parciais:
nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y )
partial fpartial x = 2x
Então, o gradiente de $ f $ é:
partial fpartial y = 2y

Passo 4

Vamos agora avaliar o gradiente no ponto específico (1,1):
nabla f(1,1) = (2 cdot 1, 2 cdot 1) = (2, 2)

Passo 5

A derivada direcional $ \frac{\partial f}{\partial \vec{u}} $ é calculada como o produto escalar do gradiente da função no ponto dado pelo vetor unitário $ \vec{u} $. A fórmula é:
partial fpartial u
Vamos fazer o cálculo:
u
Podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por $ \sqrt{5} $:
partial fpartial u = nabla f cdot u

Resposta

A derivada direcional $ \frac{\partial f}{\partial \vec{u}}(1,1) $ é $ \frac{6\sqrt{5}}{5} $.

Exercícios relacionados