Faça o que se pede:
c) Calcular o valor da integral integral0^raiz2 / 2 cos ^2(pi x^2) d x com até três casas decimais, utilizando a representação anterior.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral integral0^raiz22 cos^2(pi x^2) dx. Isso envolve cálculo de integrais, mais especificamente integrais envolvendo funções trigonométricas ao quadrado. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica de integração que nos ajude a simplificar a expressão e, possivelmente, aplicar métodos numéricos para encontrar o valor aproximado da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que cos^2(theta) pode ser simplificado usando uma identidade trigonométrica. A identidade que vamos usar é:
cos^2(theta) = 1 + cos(2theta)2
Isso ajuda a simplificar a integral, pois transforma o cosseno ao quadrado em algo mais fácil de integrar.

Passo 3

Aplicando essa identidade na nossa integral, temos:
integral0^raiz22 cos^2(pi x^2) dx = integral0^raiz22 1 + cos(2pi x^2)2 dx
Podemos separar essa integral em duas partes:
12 integral0^raiz22 1 , dx + 12 integral0^raiz22 cos(2pi x^2) dx

Passo 4

Vamos resolver cada parte separadamente. A primeira parte é simples:
12 integral0^raiz22 1 , dx = 12 [ x ]0^raiz22 = 12 cdot raiz22 = raiz24

Passo 5

A segunda parte da integral é um pouco mais complicada:
12 integral0^raiz22 cos(2pi x^2) dx
Essa integral não tem uma solução em termos de funções elementares, então precisamos usar um método numérico para aproximar seu valor. Um método comum é o Método dos Trapézios, que aproxima a área sob a curva dividindo-a em trapézios.

Passo 6

Vamos aplicar o Método dos Trapézios com, digamos, 4 subdivisões para simplificar. Primeiro, dividimos o intervalo de integração [0, raiz22] em 4 partes iguais.
O tamanho de cada subintervalo, h, é:
h = raiz22 - 04 = raiz28

Passo 7

Agora, calculamos os pontos de divisão:
x0 = 0, x1 = raiz28, x2 = raiz24, x3 = 3raiz28, x4 = raiz22
E avaliamos a função f(x) = cos(2pi x^2) nesses pontos.

Passo 8

Calculando os valores:
f(x0) = cos(0) = 1
f(x1) = cos(2pi (raiz28)^2) = cos(2pi cdot 264) = cos(pi16) approx 0.980785
f(x2) = cos(2pi (raiz24)^2) = cos(2pi cdot 216) = cos(pi4) approx 0.707107
f(x3) = cos(2pi (3raiz28)^2) = cos(2pi cdot 1864) = cos(9pi16) approx 0.19509
f(x4) = cos(2pi (raiz22)^2) = cos(2pi cdot 28) = cos(pi2) = 0

Passo 9

Aplicando a fórmula do Método dos Trapézios:
integrala^b f(x) dx approx h2 [ f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + 2f(x3) + f(x4) ]
Substituindo os valores:
raiz282 [ 1 + 2(0.980785) + 2(0.707107) + 2(0.19509) + 0 ]
= raiz216 [ 1 + 1.96157 + 1.414214 + 0.39018 ]
= raiz216 cdot 4.765964 approx 1.414216 cdot 4.765964 approx 0.420

Passo 10

Agora, juntando as duas partes da integral:
raiz24 + 12 cdot 0.420 approx 0.3536 + 0.210 = 0.5636
Arredondando para três casas decimais:
0.564

Resposta

O valor da integral é aproximadamente 0,564.

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