Faça o que se pede:
c) Calcular o valor da integral
com até três casas decimais, utilizando a representação anterior.
c) Calcular o valor da integral
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral
. Isso envolve cálculo de integrais, mais especificamente integrais envolvendo funções trigonométricas ao quadrado. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica de integração que nos ajude a simplificar a expressão e, possivelmente, aplicar métodos numéricos para encontrar o valor aproximado da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
pode ser simplificado usando uma identidade trigonométrica. A identidade que vamos usar é:
Isso ajuda a simplificar a integral, pois transforma o cosseno ao quadrado em algo mais fácil de integrar.
Passo 3
Aplicando essa identidade na nossa integral, temos:
Podemos separar essa integral em duas partes:
Passo 4
Vamos resolver cada parte separadamente. A primeira parte é simples:
Passo 5
A segunda parte da integral é um pouco mais complicada:
Essa integral não tem uma solução em termos de funções elementares, então precisamos usar um método numérico para aproximar seu valor. Um método comum é o Método dos Trapézios, que aproxima a área sob a curva dividindo-a em trapézios.
Passo 6
Vamos aplicar o Método dos Trapézios com, digamos, 4 subdivisões para simplificar. Primeiro, dividimos o intervalo de integração
em 4 partes iguais.
O tamanho de cada subintervalo,
, é:
Passo 7
Agora, calculamos os pontos de divisão:
E avaliamos a função
nesses pontos.
Passo 8
Calculando os valores:
Passo 9
Aplicando a fórmula do Método dos Trapézios:
Substituindo os valores:
Passo 10
Agora, juntando as duas partes da integral:
Arredondando para três casas decimais:
Resposta
O valor da integral é aproximadamente
.