Faça o que se pede em cada item:
(f) Expresse o polinômio v(t)=t^2+4 t-3 sobre R como combinação linear dos polinômios p1(t)=t^2-2 t+5, p2(t)=2 t^2-3 t e p3(t)=t-3 .

Passo 1

O enunciado pede para escrever o polinômio v(t)=t^2+4t-3 como combinação linear dos polinômios
p1(t)=t^2-2t+5, p2(t)=2t^2-3t, p3(t)=t-3
O conteúdo é de espaços vetoriais e coordenadas em relação a uma base (ou conjunto gerador). Vamos buscar escalares a,b,cinR tais que
a,p1(t)+b,p2(t)+c,p3(t)=v(t)

Passo 2

Formamos a combinação geral e expandimos:
a,(t^2-2t+5)+b,(2t^2-3t)+c,(t-3)
Isso dá
(a+2b),t^2+l(-2a-3b+cr),t+(5a-3c)

Passo 3

Para que essa combinação seja igual a t^2+4t-3 para todo t, igualamos coeficientes de t^2, de t e de termo constante:
a+2b = 1, -2a-3b+c = 4, 5a-3c = -3

Passo 4

Resolvendo o sistema:
  1. Da primeira equação vem a=1-2b.
  2. Substituindo em -2a-3b+c=4 obtém-se
-2(1-2b)-3b+c=4 Longrightarrow -2+4b-3b+c=4 Longrightarrow b+c=6 Longrightarrow c=6-b
  1. Substituindo a=1-2b e c=6-b em 5a-3c=-3:
5(1-2b)-3(6-b)=-3 Longrightarrow 5-10b-18+3b=-3 Longrightarrow -7b-13=-3 Longrightarrow b=-tfrac107
  1. Logo
a=1-2l(-tfrac107r)=tfrac277, c=6-l(-tfrac107r)=tfrac527

Resposta

v(t)=277,p1(t)-107,p2(t)+527,p3(t)

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