Em R^2, mantenhamos a definição do produto alpha v de um número por um vetor mas modifiquemos, de 3 maneiras diferentes, a definição da soma u+v dos vetores u=(x, y) e v=(a, b). Em cada tentativa, diga quais axiomas de espaço vetorial continuam válidos e quais são violados:
u oplus v=(x+b, a+y);

Passo 1

Estamos em R^2 com a multiplicação escalar usual
alpha,(x,y)=(alpha x,alpha y)
mas substituímos a soma usual por
uoplus v = (x,b)mapsto(x+b,;a+y) para;u=(x,y),;v=(a,b)
Queremos ver, um a um, quais axiomas de espaço vetorial sobre R continuam verdadeiros e quais deixam de ser válidos.

Passo 2

Os axiomas que envolvem “adição” são (usando “ oplus”):
VS 1) fecho: uoplus vinR^2.
VS 2) comutatividade: uoplus v = voplus u.
VS 3) associatividade: (uoplus v)oplus w = uoplus(voplus w).
VS 4) existência de elemento neutro 0 tal que uoplus0= u e 0oplus u= u.
VS 5) existência de inverso para cada u, ou seja, exists u' com uoplus u'=0 e u'oplus u=0.
Os axiomas que envolvem multiplicação escalar são:
VS 6) fecho escalar: alpha uinR^2.
VS 7) alpha,(uoplus v)=alpha uoplus alpha v.
VS 8) (alpha+beta),u=alpha uoplusbeta u.
VS 9) alpha(beta u)=(alphabeta)u.
VS 10) 1cdot u=u.

Passo 3

Verificando os axiomas de adição:
bul<=t VS 1 (fecho) vale, pois (x+b,a+y) está em R^2.
bul<=t VS 2 (comutatividade):
uoplus v=(x+b,;a+y), voplus u=(a+y,;x+b)
Em geral (x+b,a+y)neq(a+y,x+b), logo falha.
bul<=t VS 3 (associatividade): fazendo
(uoplus v)oplus w=(x+b+q,;p+a+y)
e
uoplus(voplus w)=(x+p+b,;a+q+y),
vemos que os dois só coincidem se q=p, não é geral, então associatividade falha.
bul<=t VS 4 (neutro): buscamos e=(e1,e2) com
uoplus e=(x+e2,;e1+y)= (x,y)implies e2=0,;e1=0
mas
eoplus u=(0+y,;x+0)=(y,x)neq(x,y)
em geral, então não há elemento neutro bilateral. Axioma violado.
bul<=t VS 5 (inverso): sem elemento neutro bilateral, não faz sentido ter inverso em ambos os lados. Também falha.

Passo 4

Verificando os axiomas de multiplicação escalar (lembrando que ela é a usual):
bul<=t VS 6 (fecho escalar) vale trivialmente.
bul<=t VS 7 (distributividade sobre soma de vetores):
alpha(uoplus v) =alpha(x+b,;a+y) =(alpha x+alpha b,;alpha a+alpha y) =alpha uoplusalpha v
Vale.
bul<=t VS 8 (distributividade sobre soma de escalares):
(alpha+beta)u =((alpha+beta)x,(alpha+beta)y),
mas
alpha uoplusbeta u =(alpha x+beta y,;beta x+alpha y),
que não coincide em geral. Falha.
bul<=t VS 9 (compatibilidade de escalares):
alpha(beta u) =alpha(beta x,beta y) =(alphabeta x,alphabeta y) =(alphabeta)u
Vale.
bul<=t VS 10 (unidade escalar):
1cdot u=(1cdot x,1cdot y)=(x,y)=u
Vale.

Resposta

Apenas estes axiomas continuam válidos:
bul<=t VS 1 (fecho da soma)
bul<=t VS 6 (fecho da multiplicação escalar)
bul<=t VS 7 ( alpha(uoplus v)=alpha uoplusalpha v)
bul<=t VS 9 ( alpha(beta u)=(alphabeta)u)
bul<=t VS 10 ( 1cdot u=u)
Os demais (comutatividade, associatividade da soma, existência de neutro e inverso aditivo, e distributividade (alpha+beta)u=alpha uoplusbeta u) são violados.

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