Em
, mantenhamos a definição do produto
de um número por um vetor mas modifiquemos, de 3 maneiras diferentes, a definição da soma
dos vetores
e
. Em cada tentativa, diga quais axiomas de espaço vetorial continuam válidos e quais são violados:
;
Passo 1
Estamos em
com a multiplicação escalar usual
mas substituímos a soma usual por
mas substituímos a soma usual por
Queremos ver, um a um, quais axiomas de espaço vetorial sobre
continuam verdadeiros e quais deixam de ser válidos.
Passo 2
Os axiomas que envolvem “adição” são (usando “
”):
VS ) fecho:
.
VS ) comutatividade:
.
VS ) associatividade:
.
VS ) existência de elemento neutro
tal que
e
.
VS ) existência de inverso para cada
, ou seja,
com
e
.
VS
VS
VS
VS
VS
Os axiomas que envolvem multiplicação escalar são:
VS ) fecho escalar:
.
VS )
.
VS )
.
VS )
.
VS )
.
VS
VS
VS
VS
VS
Passo 3
Verificando os axiomas de adição:
VS
(fecho) vale, pois
está em
.
VS
(comutatividade):
Em geral
, logo falha.
VS
(associatividade): fazendo
e
,
vemos que os dois só coincidem se , não é geral, então associatividade falha.
VS
(neutro): buscamos
com
e
vemos que os dois só coincidem se
mas
em geral, então não há elemento neutro bilateral. Axioma violado.
VS
(inverso): sem elemento neutro bilateral, não faz sentido ter inverso em ambos os lados. Também falha.
Passo 4
Verificando os axiomas de multiplicação escalar (lembrando que ela é a usual):
VS
(fecho escalar) vale trivialmente.
VS
(distributividade sobre soma de vetores):
Vale.
VS
(distributividade sobre soma de escalares):
mas
que não coincide em geral. Falha.
VS
(compatibilidade de escalares):
Vale.
VS
(unidade escalar):
Vale.
Resposta
Apenas estes axiomas continuam válidos:
VS
(fecho da soma)
VS
(fecho da multiplicação escalar)
VS
(
)
VS
(
)
VS
(
)
Os demais (comutatividade, associatividade da soma, existência de neutro e inverso aditivo, e distributividade
) são violados.