(2,0 pontos) Seja W o subespaço de R^4 gerado pelos vetores w1=(1,-2,3,-3), w2=(2,3,1,-4) e w3=(3,8,-3,-5).
(a) Determine uma base de W.
(b) É possível construir uma base de R^4 contendo os vetores da base de W encontrada no item (a)? Se sim, explique como ou por quê. Caso não, justifique!

Passo 1

Resumo: Nosso subespaço WsubsetR^4 é gerado pelos vetores
w1=(1,-2,3,-3), w2=(2,3,1,-4), w3=(3,8,-3,-5)
A matéria aqui é Álgebra Linear (bases, dimensão, independência). Vamos precisar de:
– definição de base (conjunto independente que gera o espaço),
– teste de independência via eliminação de Gauss (para achar o posto),
– e, no fim, escolher um vetor fora de W para estender a base a R^4.

Passo 2

(a) Queremos ver se w1,w2,w3 já é independente. Colocamos eles como linhas na matriz
1 & -2 & 3 & -3 2 & 3 & 1 & -4 3 & 8 & -3 & -5
e aplicamos eliminação de Gauss:
  1. R2 R2-2R1 (0,7,-5,2).
  2. R3 R3-3R1 (0,14,-12,4).
  3. R3 R3-2R2 (0,0,-2,0).
Sobram 3 linhas não nulas, logo o posto é 3. Isso mostra que w1,w2,w3 são independentes. Como também geram W, concluímos que
w1,w2,w3 é uma base de W e dim W=3.

Passo 3

(b) Como [\dim W=3<4=\dim\mathbb{R}^4), basta achar um vetor e juntar a para ter 4 vetores independentes em . Por exemplo, escolha
Para ver que , tentamos
que vira o sistema
As três primeiras só têm a solução trivial , impossível. Logo e é independente em , formando assim uma base de .

Resposta

Base de W: (1,-2,3,-3),,(2,3,1,-4),,(3,8,-3,-5).
Sim, dá para completar essa base a uma base de R^4, por exemplo adicionando o vetor (0,0,0,1).

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