Faça o que se pede em cada item:
Mostre que a matriz D=[rr4 & -4 -6 & 16] pode ser escrita como combinação linear das matrizes A=[ll1 & 2 3 & 4], B=[rr-1 & 2 3 & -4] e C=[rr1 & -2 -3 & 4].

Passo 1

O enunciado pede para escrever a matriz
D = 4 & -4 -6 & 16
como combinação linear das matrizes
A = 1 & 2 3 & 4, B = -1 & 2 3 & -4, C = 1 & -2 -3 & 4
O conteúdo aqui é resolver um sistema linear para os coeficientes alpha,beta,gamma.

Passo 2

Escrevemos
alpha A + beta B + gamma C = alpha - beta + gamma & 2alpha + 2beta - 2gamma 3alpha + 3beta - 3gamma & 4alpha -4beta +4gamma
e igualamos a D. Isso gera o sistema de equações entrywise:
alpha - beta + gamma = 4, 2alpha +2beta -2gamma = -4, 3alpha +3beta -3gamma = -6, 4alpha -4beta +4gamma = 16

Passo 3

Note que a segunda equação, dividida por 2, e a terceira, dividida por 3, e a quarta, dividida por 4, reduzem-se respetivamente a
alpha + beta - gamma = -2, alpha + beta - gamma = -2, alpha - beta + gamma = 4
Logo, temos apenas duas equações independentes:
alpha - beta + gamma = 4, alpha + beta - gamma = -2

Passo 4

Somando as duas equações:
2alpha = 2 Longrightarrow alpha = 1
Substituindo em alpha - beta + gamma = 4
1 - beta + gamma = 4 Longrightarrow gamma = beta + 3
Assim há infinitas soluções (alpha,beta,gamma)=(1,beta,beta+3). Para simplicar, escolhemos beta=0, ficando
alpha = 1, beta = 0, gamma = 3

Passo 5

Portanto uma combinação que funciona é
D = 1cdot A + 0cdot B + 3cdot C = A + 3C

Resposta

D = A + 3C

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