Seja I ideal do anel comutativo A.
(a) Mostre que o conjunto J=x in A ; x i=0 forall i in I é um ideal de A.
(b) Quem é J considerando que I=lang<= 2rang<= no anel Z12 ?

Passo 1

O enunciado fala de um anel comutativo A e de um ideal Isubseteq A. Define-se
J = ,xin A mid x,i = 0 forall,iin I,
que é justamente o aniquilador de I. A tarefa é (a) mostrar que J é ideal de A e (b), no caso A=Z12 e I=lang<=2rang<=, identificar explicitamente J.

Passo 2

Para ver que J é ideal, verificamos as três propriedades:
  1. Fechamento sob soma e elemento neutro: se x,yin J, então para todo iin I
(x+y),i ;=; x,i + y,i ;=; 0 + 0 ;=;0,
logo x+yin J. Além disso, 0cdot i=0, então 0in J.
  1. Fechamento sob inverso aditivo: se xin J, então para todo iin I
(-x),i ;=; -(x,i) ;=; -0 ;=;0,
logo -xin J.
  1. Fechamento sob multiplicação externa: se ain A e xin J, então para todo iin I
(a x),i ;=; a,(x,i) ;=; acdot0 ;=;0,
portanto a xin J.
Com isso, J satisfaz todas as condições para ser um ideal de A.

Passo 3

Agora no anel A=Z12 temos
I=lang<=2rang<==0,2,4,6,8,10
Queremos
J = ,bar xinZ12mid bar xcdot i = bar0forall,iin I
Basta exigir bar xcdotbar2=bar0, pois se bar xcdot2equiv0pmod12 então também bar xcdot4,bar xcdot6,dotsequiv0. A condição
2xequiv0pmod12
implica xequiv0 ou xequiv6pmod12. Logo
J = bar0,bar6 = lang<=6rang<=subseteqZ12

Resposta

J é um ideal de A e, no caso Z12 com I=lang<=2rang<=, temos
J = bar0,bar6 = lang<=6rang<=

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