Seja
ideal do anel comutativo
.
(a) Mostre que o conjunto
é um ideal de
.
(b) Quem é
considerando que
no anel
?
(a) Mostre que o conjunto
(b) Quem é
Passo 1
O enunciado fala de um anel comutativo
e de um ideal
. Define-se
que é justamente o aniquilador de
. A tarefa é (a) mostrar que
é ideal de
e (b), no caso
e
, identificar explicitamente
.
Passo 2
Para ver que
é ideal, verificamos as três propriedades:
- Fechamento sob soma e elemento neutro: se
, então para todo
logo
. Além disso,
, então
.
- Fechamento sob inverso aditivo: se
, então para todo
logo
.
- Fechamento sob multiplicação externa: se
e , então para todo
portanto
.
Com isso,
satisfaz todas as condições para ser um ideal de
.
Passo 3
Agora no anel
temos
Queremos
Basta exigir
, pois se
então também
. A condição
implica
ou
. Logo